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,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,第十一章,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“分割”,“作近似”,“求和”,“取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,1) “分割”.,2) “作近似”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3) “求和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),2. 定义.,设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,若 为空间曲线弧 , 记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记, 对坐标的曲线积分也可写作,类似地,3. 性质,(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则,则,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,证明: 下面先证,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为L 为光滑弧 ,同理可证,特别是, 如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,定理,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,例2. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,例3. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,1. 定义,2. 性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向
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