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3.3 函 数 的 和、差、积、商 的 导 数,一、复习：,1.求函数的导数的方法是:,2.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,3.常见函数的导数公式:,二、新课：,由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y=2x,那么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.,1.和(差)的导数:,2.积的导数:,因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当x0时, v(x+x) v(x).从而:,3.商的导数:,思考:你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数 公式吗?,有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导数定义出发了.,三、例题选讲：,例1:求下列函数的导数:,答案:,例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件,A,D,B,D,例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足 (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?,解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.,例4:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.,解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.,所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.,例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称.,而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12).,记曲线为S,设P(x,y)S,则有y=x3-6x2-x+6.,又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证QS.,将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.,即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是QS.,这就证明了曲线S关于点A中心对称.,四、小结：,1:充分掌握函数的四则运算的求导法则.,2:先化简,再求导是实施求导运算的基本方法;是化难 为易、化繁为简的基本原则和策略.,3:在解决与曲线的切线有关的问题时,应结合函数
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