高等数学系列经典学习资料21数列的极限.ppt

华东师范大学软件学院xlq,1,数学描述:,一 、数列的极限,模型,设圆半径r,圆面积 S 近似计算,当 n 无限增大时,无限逼近,圆内接正 n 边形,的面积,第2章 极限与连续,(刘徽割圆术),圆面积 S .,华东师范大学软件学院xlq,2,1. 数列,定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,华东师范大学软件学院xlq,3,2. 数列极限:,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,即,或,则称该数列,的极限为 a ,x2,x1,a-,xN+5,a,xN+1,a+,x3,x,),(,xN,几何解释:,华东师范大学软件学院xlq,4,例,趋势不定,收 敛,发 散,华东师范大学软件学院xlq,5,几何意义:,定义: 设数列xn , 若 M0, 使得 |xn| M, n=1, 2, . 则 称数列 xn有界 ,否则, 称xn无界,|xn|M M xn M xnM, M .,xn有界:即xn要全部落在某个对称区间M, M内,数列的有界性.,华东师范大学软件学院xlq,6,例. xn=(1)n有界, 而xn=n2无界.,x,1,1,x,0,1,9,4,x1,x2,x3,0,x2n,x2n-1,数列的单调性,华东师范大学软件学院xlq,7,例1. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,华东师范大学软件学院xlq,8,例2. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,华东师范大学软件学院xlq,9,无穷大,定义 若任给 M 0 ,n N 时，,则称数列xn,当,时为无穷大,使当,若在定义中将 式改为,则记作,正数 N ,记作,总存在,或,注:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述数列的一种状态.,2. 数列为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,举例,华东师范大学软件学院xlq,10,3、收敛数列的性质,1）定理2.1.1 收敛数列的极限唯一.,xn （ ）,xn （ ）,反证：,华东师范大学软件学院xlq,11,例3. 证明数列,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,华东师范大学软件学院xlq,12,2).定理2.1.2 收敛数列一定有界.,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,数列,证：如图,3). 收敛数列的保号性.,定理 2.1.3,xn （ ）,yn （ ）,华东师范大学软件学院xlq,13,推论1.(保号性定理) 若, 而a0,则正整数N, 当nN时, 有xn0,推论2.,推论3: 设有数列xn, 若 N(正整数), 当 nN 时,则:,有 xn0,a0,且,注: 在推论3中, 即使xn0, 也只能推出 a 0,举例,(xn0),(a0),(xn0),(a0),华东师范大学软件学院xlq,14,4).定理2.1.4 收敛数列的迫敛性 (夹逼定理),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,华东师范大学软件学院xlq,15,特别,若 a yn zn ,的意义: (1) 给出判断数列 yn 存在极限的方法;,(2) 给出了求 yn 的极限的方法.,这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.,迫敛性定理,华东师范大学软件学院xlq,16,例4. 求,解：利用迫敛性定理，,记,适当放大和缩小，,将xn,由于,所以,华东师范大学软件学院xlq,17,例5.,证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立.,(2) 设 a 1,从而, 1+ nn,证明,华东师范大学软件学院xlq,18, 0,类似方法可证明,华东师范大学软件学院xlq,19,4. 极限的四则运算,定理2.1.5: 设 则有:,例：求证,推广到有限项,华东师范大学软件学院xlq,20,例6. 证明,证: 利用迫敛性定理 ，,且,由,华东师范大学软件学院xlq,21,若 a0, b0 都非0，则,，,0，,k L,k L,华东师范大学软件学院xlq,22,= 0，,= .,例7. 求,解:,例8 求,分子有理化,例9. 求,例10. 求,华东师范大学软件学院xlq,23,5. 数列极限存在条件,定理2.1.6 单调有界数列必有极限,华东师范大学软件学院xlq,24,例11. 设,证明数列,极限存在 .,*证: 利用二项式公式 , 有,华东师范大学软件学院xlq,25,大,大,正,又,比较可知,华东师范大学软件学院xlq,26,根据准则 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,华东师范大学软件学院xlq,27,例12: 求,例13. (P59总/4) 设x0=1,证明 xn 的极限存在，并求之,证：,注意到 0 xn 2, 即 xn 有界.,且x1 x0,华东师范大学软件学院xlq,28,同理，,=,即 xn 单调递增.,华东师范大学软件学院xlq,29,因 xn 0 , 故 a 0.,思考:已知, 求,时,下述作法是否正确? 说明理由,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,华东师范大学软件学院xlq,30,定理2.1.7. 柯西准则(柯西审敛原理),数列,极限存在的充要条件是:,存在正整数 N ,使当,时,有,华东师范大学软件学院xlq,31,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2.