高考总复习一轮《名师一号-数学》第42讲.ppt

第四十二讲 (第四十三讲(文)直线和 平面垂直与平面和平面垂直,回归课本 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直 这条直线平面的垂线 平面直线的垂面 交点垂足垂线在平面内的射影 直线l垂直于平面，记作l.,(3)直线与平面垂直的性质定理 a，bab；a，bab； a，bab. (4)点到平面的距离的定义 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离,(5)直线和平面的距离的定义 一条直线和一个平面平行，这条直线上任一点到这个平面的距离叫做这条直线和平面的距离 线到平面的距离是用点到平面的距离来度量的 (6)判定直线与平面垂直的方法 定义； 判定定理； ab，ab； ，aa； l，l.,(7)垂直关系的转化 其中线面是线线、面面转化关系的枢纽，在证题过程中关键要寻求“三级”转化的条件，确定转化目标,2三垂线定理及逆定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 PO，PA分别为的垂线，斜线，OA是PA在内的射影，a且aOAaPA.,(2)三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 (3)斜线在平面内的射影及射影长定理 连结斜足及斜线上不同于斜足的一点在平面内的射影，所得直线称为斜线在平面内的射影，从平面外一点向平面引垂线和若干条斜线，斜线段长相等 射影长相等,3平面与平面垂直的有关定理 (1)判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直 AB，AB. (2)性质定理 若，l，m且ml，则m. 若，点P，Pm且m，则m. 若，m，则m.,4方法 (1)平面与平面垂直的判定方法 定义法； 定理：m，m，则； m，m，则. (2)“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”的相互转化在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据，并有利于证明，不能随意添加如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化作用正确进行它们之间的转化是解决这类问题的关键,考点陪练 1.已知平面平面，l，Pl，则给出下面四个结论( ) 过P和l垂直的直线在内； 过P和垂直的直线在内； 过P和l垂直的直线必与垂直； 过P和垂直的平面必与l垂直 其中正确的命题是 A B C D 解析：满足条件的直线在过点P与l垂直的平面内，故不对；由平面与平面垂直的性质定理知是正确的；满足中条件的直线可在内，故不对；对于，过P与垂直的平面可绕P点转动，不一定与l垂直，故不对 答案：A,2正四面体中面SDQ在该四面体的四个面上的射影可能是( ),A B C D 解析：SDQ在面ABD上的射影为图，SDQ在面ABC上的射影为图，SDQ在面BDC上的射影为图，因此选D. 答案：D,3平面平面的一个充分条件是( ) A存在一条直线l，l，l B存在一个平面， C存在一个平面， D存在一条直线l，l，l 解析：对于A，由l，l知，或与重合；对于B，由，知；对于C，由，知，与平行或相交；都不符合要求，排除选择D. 答案：D,4直线a，b是不互相垂直的异面直线，平面，满足a，b，且，则这样的平面，( ) A有无数对 B有有限对 C只有一对 D不存在 解析：过直线a作任意一个平面，则直线bB，且b，在b上取异于B的点C，作CD于D，则平面BCD. 答案：A 点评：就是教室里黑板面和地面垂直的模型，这是高考的热门话题因此，记住一些有用的模型，对于快速解答有关问题是大有帮助的,5(2011荆州质量检查)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则点E、F满足的条件一定是( ),解析：取AD上一点M，使AMBE，连结A1M，则只需满足A1MAF，即得B1E平面ABF，则由平面几何的知识可得：只需MDDF1，即CEDF1. 答案：B,【典例1】 RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点 (1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC.求证：BD平面SAC. 分析 利用线面垂直的判定定理即可得证 证明 (1)取AB中点E，连结SE，DE， 在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点， 故DEBC，且DEAB，,SASB，SAB为等腰三角形， SEAB. SEBA，DEAB，SEDEE， AB面SDE. 而SD面SDE，ABSD. 在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC. SDAC，SDAB，ACABA， SD平面ABC. (2)若ABBC，则BDAC， 由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD. SDBD，BDAC，SDACD， BD平面SAC.,点评 证线面垂直的方法有： (1)利用定义，即证直线垂直于平面内任一直线 (2)利用线面垂直的判定定理，它是判定线面垂直的最常用思路 (3)利用线面垂直的性质，即两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面 (4)利用面面垂直的性质定理，即两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面 (5)用面面平行的性质，即一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面 (6)用面面垂直的性质，即两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面,探究1：P为ABC所在平面外一点，且PA平面ABC，若O、Q分别为ABC和PBC的垂心，求证：OQ平面PCB. 证明：如图，连结AO并延长交BC于E，连结PE. O为ABC的垂心，AEBC. PA平面ABC，BC平面ABC， PABC. PAAEA，BC平面PAE. PE平面PAE，BCPE.,Q为PBC的垂心，QPE，即OQ平面PAE， BCOQ. 连结BO并延长交AC于F，连结BQ并延长交PC于H，连结FH. O为ABC的垂心，BFAC. 又PABF，ACBF，PAACA， BF平面PAC. 而PC平面PAC，BFPC. 又BHPC，BFBHB，PC平面BFH. 而OQ平面BFH，PCOQ. 又BCOQ，PCBCC，OQ平面PBC.,类型二 面面垂直的判定与性质 解题准备：利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加,【典例2】 如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证： (1)DEDA； (2)平面BDM平面ECA； (3)平面DEA平面ECA. 分析 (1)要证明DEDA，只需证明RtDFERtDBA； (2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可； (3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线,MNBD，N点在平面BDM内 EC平面ABC，ECBN，又CABN， BN平面ECA. BN在平面MNBD内， 平面MNBD平面ECA. 即平面BDM平面ECA. (3)DMBN，BN平面ECA， DM平面ECA，又DM平面DEA. 平面DEA平面ECA. 点评 本题涉及线面垂直，面面垂直的性质和判定，其中证明BN平面ECA是关键,探究2：如图，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，侧面BB1C1C底面ABC. (1)若D是BC的中点，求证：ADCC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C； (3)AMMA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由,分析：(1)显然；对于(2)，延长B1A1与BM是一个好方法；(3)的结论是肯定的，证必要性时，辅助线要重新作出 解析：(1)证明：ABAC，D是BC的中点， ADBC， 底面ABC侧面BB1C1C， AD侧面BB1C1C，CC1侧面BB1C1C ADCC1. (2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N. AMMA1，NA1A1B1 A1B1A1C1，A1C1A1NA1B1， C1NC1B1，,底面NB1C1侧面BB1C1C， C1N侧面BB1C1C. 截面C1NB侧面BB1C1C， 截面MBC1侧面BB1C1C. (3)结论是肯定的，充分性已由 (2)证明，下面证必要性 过M作MEBC1于E. 截面MBC1侧面BB1C1C， ME侧面BB1C1C， 又AD侧面BB1C1C，,点评：证明面面垂直，需要证线面垂直；而要证线面垂直，需要证线线垂直，即线线垂直线面垂直面面垂直,类型三 三垂线定理及其逆定理的应用 解题准备：1.不同的选择，使问题的解决有难有易，由此也体现出灵活性并非轻而易举地获得，而需要加强训练 2三垂线定理及其逆定理主要用于： (1)立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直； (2)立体几何的计算问题，如求空间一点到平面内某一直线的距离，求两平行直线间的距离，求两条异面直线所成的角等； (3)二面角问题，主要是构造二面角的平面角,【典例3】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱DD1的中点，O为底面正方形ABCD的中心，求证：B1OPA. 证明 证法一：如图所示 B1B平面ABCD， B1BAO. 又BDAO，B1BBDB， AO平面BDD1B1. 故PO是PA在面BDD1B1内的射影,证法二：如图所示，取AD的中点M，连结OM，则OM平面A1ADD1. 又B1A1平面A1ADD1， A1M是B1O在平面A1ADD1内的射影 在正方形A1ADD1中，M为AD的中点，P为DD1的中点，PAA1M. PAB1O(三垂线定理),探究3：如图，已知：平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，E是点A在平面PBC内的射影 (1)求证：PA平面ABC； (2)当E为PBC的垂心时 求证：ABC是直角三角形,证明：(1)如下图，在平面ABC内取一点D，作DFAC于F. 平面PAC平面ABC，且交线为AC. DF平面PAC. PA平面PAC. DFPA， 作DGAB于G，同理可证：DGPA. DG、DF都在平面ABC内，且DGDFD， PA平面ABC.,(2)连结BE交PC于H. E是PBC的垂心，PCBE. 又已知AE是平面PBC的垂线， 由三垂线定理知PCAB. PA平面ABC，PAAB，AB平面PAC. ABAC，即ABC是直角三角形,【典例4】 如图，已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交BC于F. (1)求证：AFSC； (2)若平面AEF交SD于G.求证：AGSD. 证明 (1)SA平面AC，BC平面AC，SABC. ABCD为矩形，ABBC且SAABA. BC平面SAB. 又AE平面SAB，BCAE. 又SBAE且SBBCB，AE平面SBC， 又SC平面SBC，AESC. 又EFSC且AEEFE，SC平面AEF. 又AF平面AEF，AFSC.,(2)SA平面AC，DC平面AC，SADC. 又ADDC，SAADA，DC平面SAD， 又AG平面SAD，DCAG. 又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF， SCAG且SCCDC，AG平面SDC， 又SD平面SDC，AGSD.,探究4：如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD； (2)求证：ADPB； (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论,证明：(1)在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点， 所以BGAD，又平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 所以BG平面PAD. (2)连结PG，由PAD为正三角形， G为AD的中点，得PGAD， 由(1)知BGAD，PGBGG， 所以A