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制作人：聂水晶,高等数学多媒体课件,第二章 极限与连续,第一节 极限概念,1 极限思想 2 数列的极限 3 函数的极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,极限思想,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,数列的极限,其中每一个数称为数列的项，第n项 xn为数列的一般项或通项。例如：,在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点.,注意：,2. 数列可看成是以自然数为自变量的函数：,xn = f ( n ) .,播放,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,定义1.8 对于数列 ，如果当 无限变大时， 趋于一个常数 , 则称当 趋于无穷大时，数列 以 为极限，记作,亦称数列 收敛于；如果数列 没有极限，就称 是发散的,或 ，,观察下面数列的变化趋势，哪些数列收敛？ 哪些数列发散？如果收敛，写出它们的极限,练习一,函数的极限,(1)当自变量 绝对值无限增大，即沿 轴的 正向和负向同时远离原点时，记作,(2)当自变量 无限增大(或无限减小)时，记作,(或 ),(3)当自变量 从 的两侧趋向于 时，记作,(4)当自变量 从 的左侧( 的右侧)趋向于 时， 记作,(或 ),x、y的变化趋势：,x: x趋向正无穷大（x+）,y: y无限接近于常数0 (y0),再看函数 图象,即对函数 ,当 时,定义1.9 如果当 且无限增大时，函数 趋于一个常数 ，则称当 时函数 以 为极限记,或 ,由例1知，对于函数 ，有,例2.已知函数 ，试由函数的 图像判断 趋向负无穷大时函数 的变化趋势。,由图可见，对函数 ， 当 时,定义1.9 如果当 且 的绝对值无限增大时，函数 趋于一个常数 ，则 称函数 当 时以 为极限记作,或 ,由例2知，对于函数 ，有,例3.已知函数 ，判断当 和 时，函数的极限。,解 作 的图象,和 可以写成,例3结论又可写成,定义1.9 如果当 的绝对值无限增大时， 函数 趋于一个常数 ，则称当 时函数 以 为极限记,或 ,例4 求 ,解 当 时， ，即 ,例5 求 ,解 函数的图象如图所示当 时， 无限变小，函数值趋于1； 时，函数值同样趋于1，所以有 ,例6.已知函数 ，讨论当 是否有极限，为什么？,如图,由图可知： 时， 时，,例7.已知函数 ，讨论当 是否有极限，为什么？,如图,时， 某一固定的常数A 时， 某一固定的常数A,由图可知：,观察下列极限是否存在，如存在请写出极限,练习二,定义1.10 设函数 在点 的某个邻域(点 本身可以除外)内有定义，如果当 趋于 (但 )时，函数 趋于一个常数 ，则称当 趋于 时， 以 为极记作 或 ，亦称当 时， 的极限存在否则称当 时， 的极限不存在,2. 时函数的极限,注意:,() 定义中 表示 从小于 和大于 的两个方向趋近于 （）定义中考虑的是 时函数 的 变化趋势,并不考虑在 处 的情 况,例8 根据极限定义说明：,(2) ,(1) ，,解 (1)当自变量 趋于 时，作为函数的 也趋于 ，于是依照定义有 ,(2) 无论自变量取任何值， 函数都取相同的值 ，那么它当然趋于常数 ，所以 ,例9 考察函数 ，写出当 时函数 的极限,并作图验证.,解：,例10 利用图像考察 和 的值,解,作 的图像,作 的图像,解,例11 求极限 ，并作图观察,练习三： 求下列极限,定义1.11 设函数 在点 右侧的某个邻域(点 本身可以除外)内有定义，如果当 趋于 时，函数 趋于一个常数 ，则称当 趋于 时， 的右极限是 记作,3.左极限与右极限,或 ,设函数 在点 左侧的某个邻域(点 本身可以除外)内有定义，如果当 趋于 时，函数 趋于一个常数 ，则称当 趋于 时， 的左极限是 记作,或 ,定理1.1 当 时， 以 为极限 的充分必要条件是 在点 处左、 右极 限存在且都等于 即,试判断 是否存在,，,，,左、右极限各自存在且相等，所以 存在，且 ,解 先分别求当时的左、右极限：,解 当 时， ， ， 即 ；当 时， ，故 ，即 左极限存在，而右极 限不存在,由充分必要条件可知 不存在,例12 判断 是否存在,解,例13 讨论函数 当 和 时的极限,例14,解,讨论函数 当 时的极限是否存在,练习四,求下列函数当 时的左、右极限， 并指出当 时极限是否存在,返回目录,4.设函数 ，作出函数 的图形。试问 以及 是否存在？,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：