高等数学微积分第3章第1节导数概念.pptVIP

第三章 导数与微分,第三章 导数与微分,第一节 导数的概念 第二节 求导法则 第三节 反函数、复合函数、隐函数的导数 第四节 导数公式 第五节 高阶导数 第六节 微分 第七节 导数在经济上的简单应用,1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，,2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算,导数，会求反函数与隐函数的导数.,法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的,了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性,的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.,3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.,4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及,一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.,本章基本要求,本章重点、难点,重点：导数与微分的计算.,难点：分段函数分界点处可导性的,讨论、隐函数求导.,第一节 导数概念,一、引出导数概念的例子,1、变速直线运动的速度,已知,求,解,(1),(2),(3),2、平面曲线的切线的斜率,切线,割线,2、平面曲线的切线的斜率,解,二、导数的定义,定义3.1,设函数,有定义,在点,的某邻域内,对自变量在点,处的任一改变量,函数的相应改变量为,如果极限,存在,则称函数,在点,点,处可导(或导数存在).,并称此极限值为,的可导点,为,在点,处的导数(或微商).,注,(1)记号,(2),、,、,、,、,(3),求导三步曲:,例1 求函数 y=x2 在点 x = 3 处的导数.,解,讨论导数另一定义形式,定义3.1,设函数,在点,的某邻域内有定义,如果极限,存在,(第二定义),则称函数,在点,点,可导(或导数存在).,并称此极限值为,的可导点,为,在点,导数(或微商).,的,第一个定义做证明题方便,第二个定义,讨论分段函数分界点处导数方便.,三、导数的几何意义,的几何意义是:,处的切线方程为:,曲线,在点,处的切线斜率.,曲线,在点,例2 求曲线 y=x2 在点 (3,9) 处的切线方程.,解,因此所求切线方程为,即,函数,在点,的导数,处的法线方程为:,曲线,在点,例2 求曲线 y=x2 在点 (3,9) 处的法线方程.,解,因此所求法线方程为,即,四、左导数和右导数,定义3.2,如果极限,值为,存在,在点,处的右导数,记作,则称此极限,如果极限,值为,存在,在点,处的左导数,记作,则称此极限,如果极限,值为,存在,在点,处的右导数,记作,则称此极限,如果极限,值为,存在,在点,处的左导数,记作,则称此极限,定义3.2,注,例 3 讨论函数,在,解,故,不存在.,处的可导性.,分段函数求分界点处的导数时注意,(1)用定义,(2)一般分左右导数,(3)如果分界点左右两边函数表达式,一样,则不分左右导数.,(4)求左右导数时,函数值固定不变.,五、可导与连续的关系,所以,由,可得,如果函数 y = f (x) 在点,处可导,则它在点 x0 处一定连续.,因为函数 y = f (x) 在点 x0 处可导,故连续.,定理3.1,证,1. 可导必连续,2. 连续不一定可导,3. 不连续一定不可导,4. 不可导不一定不连续,例4 讨论函数,在点 x = 0 及 x = 1处的连续性与可导性.,解, 在点 x = 0 处的连续性,故 不连续,从而不可导.,三者不等,在点 x = 1 处的可导性,故,函数可导,从而连续.,例5,已知,求,使得函数,在点,可导.,解,所以,六、导函数,定义,称为函数 y=f (x) 在开区间 (a,b) 内对 x 的,如果函数,在某区间(a,b)内每一,点 x 处都可导，,则称 f (x) 在区间(a,b)内可导.,导函数,简称为导数.,(1) 记号:,(2),(3),求导函数三步曲:,、,、,、,例6,求,的导函数