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2019年5月22日星期三,1,常用函数的幂级数展开式,2019年5月22日星期三,2,第三节 函数的幂级数展开式的应用,第十章,(Application of expanding of power series),一、近似计算,二、欧拉公式,2019年5月22日星期三,3,一、近似计算,(Approximate computation),解: 已知,故,令,得,于是有,2019年5月22日星期三,4,在上述展开式中取前四项,2019年5月22日星期三,5,( 取,的近似值, 精确到,解:,例2 计算积分,2019年5月22日星期三,6,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,2019年5月22日星期三,7,二、欧拉公式,(Euler formula),则称 收敛 , 且其和为,绝对收敛,收敛 .,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于, 故知,2019年5月22日星期三,8,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛 .,当 y = 0 时, 它与实指数函数,当 x = 0 时,的幂级数展式一致.,定义 复变量,2019年5月22日星期三,9,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,2019年5月22日星期三,10,据此可得,(德莫弗公式),利用幂级数的乘法, 不难验证,特别有,课外练习 习题105 1(2) , (4) ; 2,2019年5月22日星期三,11,欧拉 (1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论 , 微,还,写了大量力学, 几何学, 变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理 , 积分学原理等
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