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文档简介

三、定积分的分部积分法,第五节,二、定积分的换元法,定积分的积分法,第五章,一、直接用牛顿-莱布尼兹公式,一、直接用牛顿-莱布尼兹公式,例1. 计算,解:,原式,例2. 计算,解:,原式,二、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例3. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例4. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例5.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,例6.,证:,例7.,计算,解：,由例 8 可得,因而,例8.,计算,解：,故,例9. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：,解: (1) 记,并由此计算,则,即,(2),周期的周期函数,则,三、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,例10. 计算,解:,原式 =,例11. 证明,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限 边积边代限,思考与练习,1.,提示: 令,则,2. 设,解法1,解法2,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示: 两边求导, 得,得,3. 设,求,解:,(分部积分),作业,P163 2 (7) , (14) , (15) , (17); 3(1); 4; 7.,备用题,1. 证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期
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