塑力5、弹塑性力学边值问题的简单实例.ppt

一、假设和屈服条件,5-1 梁的弹塑性弯曲,对于具有两个对称轴的等截面梁，荷载作用于纵向对称平面内，可采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：,1）、变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持为垂直于弯曲梁轴的平面，即平截面假设；,2）、不计各层间的相互挤压；,3）、小变形，即挠度比横截面的尺寸小得多；,4）、梁跨长比横向尺寸大得多。,根据上述假设，只考虑梁横截面上正应力对材料屈服的影响，用Tresca和Mises条件均为：,=,二、梁的纯弯曲,如图所示，研究具有两个对称轴的等截面梁，设y、z为横截面的对称轴，x为梁的纵轴，xoy为弯曲平面。,Z,y,1、理想弹塑性材料,纯弯曲时，随着弯矩M的增加，塑性变形由梁截面边缘对称地向内部发展，在梁的任一横截面上弹性区和塑性区是共存的。在弹性区，应力按线性分布；在塑性区，应力按 分布；而在两者的交界处，正应力 应等于屈服应力 。,1） 对于理想弹塑性材料，在塑性区 ，则沿横截面高度，应力分布为：,Z,2）M=M(ys)函数关系,纯弯曲横截面上应力应满足轴力为零的条件,由于Z为横截面的一条对称轴，上式自动满足，否则将由这个条件确定中性轴的位置，横截面上的正应力还应满足：,即：,可以简写成：,其中 为弹性区对中性轴的惯性矩；,为塑性区对中性轴的静矩,3)、弹性极限弯矩、塑性极限弯矩,此式确定M与ys的关系,关于梁的绕度，对弹性区而言，有：,在弹性区的边界上的 处， 代入上式，梁轴曲率半径为：,考虑到梁的曲率与梁绕度 的关系，有：,则得梁轴的挠曲线方程为：,取梁的横截面是高h、宽为b的矩形，则有：,将他们代入,则得出：,即得梁刚开始产生塑性变形时的弹性极限弯矩为：,如果令 ，即表示梁截面全部进入塑性状态，此时的弯矩称为塑性极限弯矩：,而有:,说明梁截面由开始屈服到全部屈服，还可以继续增加50%的承载能力，由此也可以看出按塑性设计可以充分发挥材料的作用。,利用 和,得：,设与 对应的曲率半径 ，此时 ，由此可得：,纯弯梁屈服以后的曲率半径与弯矩M之间的关系,而在屈服前，它们服从线性的弹性关系，即满足：,根据屈服前,屈服后,绘出弯矩与曲率的变化曲线，如图所示：,4）、卸载规律,梁在达到塑性极限弯矩以后全部卸载，则在梁内存在残余应力。应用卸载定律，可以计算此残余应力。卸载过程中弯矩改变值为,利用此值按弹性计算即得应力改变量为,卸载前的应力为：,则残余应力为：,前正负号：y0时取正，y0取负,前正负号：y0时取正，y0取负,残余应力沿截面高度分布情况如图所示。,-,-,（b）,2、线性强化弹塑性材料,强化阶段则有：,根据平截面假设，应有：,得 与 的关系,其中 为弹性区对中性轴的惯性矩；,为塑性区对中性轴的静矩,为塑性区对中性轴的惯性矩；,梁横截面为bh的矩形，则有：,此式为矩形截面线性强化弹塑性M与ys的关系,三、梁的横力弯曲,梁在横向载荷作用下的弯曲比纯弯曲复杂。采用上述的假设和屈服条件，针对纯弯曲导出的有关结果基本上适用。,纯弯曲 是常数,横力弯曲,应力只沿高度方向变化,应力不仅沿高度方向变化，还沿长度方向变化,弹性区高度,是常数,纯弯曲,横力弯曲,受均布载荷作用理想弹塑性材料的矩形截面梁,应力分布,整理一下可以得：,式中：,梁跨中截面开始屈服时的载荷，即梁的弹性极限载荷，,(2),式（2）表明梁中的弹塑性交界线是一双曲线。,在梁跨中截面全部进入塑性状态时，产生无限制的塑性流动，相当于在跨中安置了一个铰，称为塑性铰。,塑性铰的定义：,塑性铰与结构铰的区别：,、塑性铰与弯矩大小有关,塑性铰的出现是因截面上的弯矩达到了塑性极限弯矩，并由此产生转动。,、结构铰处总有M=0，不能传递弯矩,塑性铰的出现，使得梁成为几何可变的，丧失了继续承载的能力。此时对应的载荷称为塑性极限载荷。,与弹性极限载荷相比,、结构铰为双向铰，即可以在两个方向上产生相对转动，而塑性铰处的转动方向必须与塑性极限弯矩的方向一致，所以塑性铰为单向铰；,、卸载后塑性铰消失，由于存在残余变形，结构不能恢复原状；而结构铰不变。,四、梁的弹塑性挠度,由前面的分析可知，按照塑性极限状态设计，梁可以充分发挥材料的潜力。,以理想弹塑性材料矩形截面(bh)梁为例，横力弯曲时仍仅考虑弯矩引起的变形.,纯弯曲,横力弯曲,但梁是否会因变形过大而不能使用，则需要研究梁在弹塑性阶段的变形。,在此阶段中，梁的变形仍受到弹性区的限制，因此塑性区的变形仍处于约束变形阶段。,以悬臂梁为例，设梁处于弹塑性极限状态，固定端弯矩 ， 截面弯矩为 从而有：,即：,l,(1)弹塑性段挠度,挠曲线方程式为,在弹塑性段（ ）,将上式积分。在梁刚开始进入塑性极限状态瞬时，仍采用固定端处挠度和转角为零的边界条件，得：,（2）、弹性段挠度,在弹性段（ ）,挠曲线方程式为,和,可以得出：,将x=0代入上式，即得梁处于塑性极限状态时的自由端的挠度：,当梁处于弹性极限状态，即固定端弯矩为,其自由端处的挠度为：,(3),(4),从这个例题可以看出，按塑性力学得到的极限挠度为弹性极限挠度的2.22倍。,将式（3）与（4）比较，可得：,(3),(4),5.3 圆杆的弹塑性扭转,一、弹性扭转,平面假设,单位长度上的相对扭转角,扭转切应力,二、弹塑性扭转,理想弹塑性材料,屈服条件,纯剪,两个屈服条件可以统一成:,Tresca：,Mises：,随着T的增加，圆杆的最外层开始屈服，设 为截面弹性和塑性分界线半径，则应力分布可写成如下形式：,当 时，圆杆最外层开始屈服.,弹性极限扭矩,当 时，圆杆截面全部屈服.,塑性极限扭矩,三、残余应力和残余转角,圆截面杆受TTe作用，将T除去后，残余应力：,在弹性区 ，,在塑性区 ，,残余转角,5.4 非圆截面杆的塑性极限扭矩,非圆截面杆因扭转而变形时，每一个截面不仅转动，且产生翘曲，并不能保持平面。由于弹塑性分界面一般不能事先确定，因此，求解非圆截面杆弹塑性扭转问题的解析解是很困难。,下面讨论理想弹塑性材料的非圆截面扭转的塑性极限分析。,1、结论：对于实心杆而言，在杆截面的周边筑起斜率为常数k的等倾曲面（曲面任