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第五节 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,二、无穷大量,第一章 函数与极限,2无穷小量的运算与无穷小量的比较,既然无穷小量是一个极限存在的变量，那么函数极限运算法则对它都适用吗？,函数极限运算法则中的加、减、乘法法则对它都是适用的. 对无穷小量我们有“有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量”. 并且还有下面的定理：,定理2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.,因此 ，即在 时， 为无穷小量,而 为有界量.,例如 在 时， ，因此 为无穷小，,定理2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.,讨论：两无穷小量相除时，函数极限的除法法则对它还适用吗？ 观察以下各情形，您有何结论？,在 时， 等均为无穷小，但是,两无穷小量相除时，结果可能有很多种。这是因为无穷小量在该极限过程过，有的趋向于零的“速度快”，有的“速度慢”。这就需要我们对无穷小量进行比较。,称 与 是等价无穷小，记作,定义2 设 与 为同一过程下的无穷小，且 ，如果,称 是比 高阶的无穷小，记为,称 是比 低阶的无穷小;,称 与 是同阶无穷小;,称 是关于 的 k 阶无穷小（其中k是正整数）.,例如：在 时， 等均为无穷小，,2x与sinx、 2x与x是同阶的无穷小；,证,例1 当 时，证明,所以,例2 当 时，证明,证,对等价无穷小，还有个重要结论：,若,则,因此,所以,若,则,因此,3常用的等价无穷小,当 时，,证：,4利用等价无穷小量代换求极限,定理3 设有无穷小量 ，并有 ，,同样可以证明,若 存在，那么 也存在，,并且,设有无穷小量 ，并有 ，若 存在，则 也存在，且,解,例3 求,因此,解,因此,例4 求,析：,您看出在求极限时，用等价无穷小 代换的威力了吗？有何感想？,解,分
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