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文档简介

,第十章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分 第一型曲线积分,对坐标的曲线积分 第二型曲线积分,对面积的曲面积分第一型曲面积分,对坐标的曲面积分第二型曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、第一型曲线积分的概念与性质,二、第一型曲线积分的计算法,第一型曲线积分,第十章,一、第一型曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例1: 曲线形构件的质量,采用,设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一型曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.,3. 性质,（k 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),二、第一型曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,证:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),例2. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).,解: 建立坐标系如图,则,例3. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,例4. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,例5. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,思考: 例5中 改为,计算,解: 令, 则,圆的形心在原点, 故, 如何,例6. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解: 设其密度为 (常数).,(2) L的质量,而,(1),故重心坐标为,3. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示: 分段积分
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