函数、极限、连续(58)（24题.ppt

第一讲 函数、极限、连续,1 函 数,1函数的定义,因变量,自变量,数集D 叫作这个函数的定义域,函数值全体组成的数集,称为函数的值域 ,记作,记作,解,由 ，则,由 ，得 x 满足,解得,定义域：,2函数的一些几何特性,(1) 有界函数:,(2) 单调函数:,(3) 函数的奇偶性:,(4) 周期函数:,解,（1）,的周期,的周期,是 为周期的周期函数,的周期 ，,的周期,（2）,所以 g (x) 不是周期函数,（3）,的定义域 0 , +) , 有下界,所以 h(x) 不是周期函数,解,（1）如果 g(x) 为偶函数，即,（2）如果 g(x) 为奇函数，即, f (g(x) 恒为偶函数,（1）反函数,定理(反函数存在定理),（2）复合函数,设函数 y=f (x) , uU ; u=g(x) , x X ,变量 u 称为中间变量,（3）初等函数,（4）分段函数,符号函数：,（5）隐函数,例如：,（6）变上限积分函数,说明：,用极限、导数、无穷级数也可表示函数,解,所以,解,当 x 0 时，,反函数,当 x 0 时，,反函数,反函数,2 极 限,1极限的定义,当 x -M 时 , 有,当 时 , 有,当 时, 有,当 时, 有,右极限:,左极限:,同理可叙述:,同理可叙述:,解,选 ( D ),2重要的关系与结论,(1) 极限存在与有界性的关系,函数极限:,数列极限:,(2) 极限的几个等价关系,(证明题、计算极限）,1),（常被用来讨论分段函数在分段点处的极限）,(3) 局部保号性,( 常用证明题）,2),3),4),说明: 结论 (a) 、(b) 反过来不成立,(4) 极限的四则运算法则,如果 ， 则有,1）,2）,3）,解,原式,解得,此时,解,(5) 极限存在的判定准则,数列极限：,(a) 收敛准则：,若 单调增有上界 存在,若 单调减有下界 存在,(b) 夹逼定理：,如果 且 ，则,函数极限：,夹逼定理：,则,解,从定义式可知 ，且,设 ，则对 k = n+1,由,由归纳法可知数列 单调增有上界，所以收敛,设 , 在递推式两边取极限得,解得,所以,解,设 ，则,(6) 重要极限,1),2),解,解,由,解,为使极限 存在,即,此时,3无穷小与无穷大,(1) 无穷小(量):,无穷小量一定是和某自变量的趋限过程相联系的,说明:,(2) 无穷大(量):,无穷大量一定是和某自变量的趋限过程相联系的,说明:,(3) 无穷小的运算性质,1) 有限个无穷小的和是无穷小,2) 常数与无穷小的乘积是无穷小,3) 有限个无穷小的乘积是无穷小,(4) 无穷大的运算性质,(a) 若 则,(b) 若 (可为) , 则,(5) 无穷小与无穷大的关系,若 则,( 无穷大的倒数是无穷小 ),解,(A) 反例 ，而,(B) 反例,(C) 反例,(D) 正确,令 ，则,所以选 (D),(6) 无穷小的阶,设,记为,常用的等价无穷小:,当 x 0 时 ,(7) 利用等价无穷小代换求积、商的极限,若 且 存在 ，则,解,原式,解,原式,(8) 确定无穷小阶的方法,1) 利用等价关系 , 恒等变形,2) 利用泰勒公式,3) 利用洛比塔法则,解,所以选 (B),解,（关于 x 是1 阶的）,（关于 x 是 2 阶的）,（关于 x 是 3 阶的）,（关于 x 是 2 阶的）,同理有,关于 x 是 低阶的,4洛比塔法则,说明:,(2) 若 不存在 , 对原极限无明确结论 .,解,(1) 原式,(2) 原式,所以,3 连 续,1连续的概念,(1) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处连续,(2) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处右连续,(3) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处左连续,2连续性的重要结论,f (x) 在 x0 处连续 f (x) 在 x0 处左连续且右连续,(2) 连续性的四则运算法则,如果 f (x)、g(x) 在 x0 处连续 ,则,在 x0 处也连续,(1) 连续的充要条件,(3) 复合函数的连续性:,(4) 反函数的连续性:,(5) 初等函数的连续性:,一切初等函数在其定义区间上连续,例20 下列函数中, 在定义域上连续的函数是 ( ),解,在 处， 为初等函数，所以连续,所以选 (B),解,3函数的间断点,(1) 间断点: f(x) 的不连续点称为间断点,(2) 间断点的分类: 设 x0 是 f(x) 的间断点 ,当 时 , x0 称为可去间断点,当 时 , x0 称为跳跃间断点,解,及使 的 为两个间断点,可知 是第二类间断点,可知 是跳跃间断点,4闭区间上的连续函数性质,(1) 最值定理,(2) 介值定理,(3) 零值定理,解,对任意的实数 r ( 0