函数的单调性(叶小飞版本.ppt

1.3.1函数的单调性,函数的基本性质,思考1：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律,二、新知探究,解析法,图像法,通俗语言：在区间（0，+）上， 随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。 数学语言：在区间（0，+）上， 任取 ，得 当 时，有 。 这时我们就说函数 在区间（0，+）上是增函数,列表法,如何描述函数图像的“上升”“下降”呢？,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.,由此得出单调增函数和单调减函数的定义.,x,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I， x1,x2 I,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上 x1,x2 I,那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间.,增,当x1x2时，都有 f (x1 ) f(x2 )，,单调区间,看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间,若有写出其单调区间.,图1,图3,图2,没有单调区间,减区间 增区间,没有单调区间,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;有些函数在定义域内可能是单调的如 y=x;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上是减函数，还有的函数是非单调的，如y=c,y=2xxN|1x5,（1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 区间D叫做y =f(x)的单调区间 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。,注意：,判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；,注意：,判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；,（3） a) x 1, x 2 取值的任意性;不能以特殊值代替 b) 必须有大小，一般令 c)同属一个单调区间,例1：下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？,解：函数y=f(x)的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中y=f(x)在区间-5,-2), 1,3)是减函数， 在区间-2,1), 3,5 上是增函数。,例2. 写出单调区间,数缺形时少直观,_,讨论1：,？,不能,数形结合的思想,（4）若函数 f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(或减）函数一般不能简单认为f(x)在AB上是增（减）函数,在(-,+)是减函数,在(-,0)和(0,+)是减函数,在 增函数 在 减函数,在(-,+)是增函数,在(-,0)和(0,+)是增函数,在 增函数 在 减函数,x1,x2 0，+）,且x1 x2， 则：,由0 x1 x2 得,于是 f(x1)-f(x2)0。,即 f(x1)f(x2),所以函数 在区间0，+）上为增函数。,取值,作差,变形,定号,下结论,证明:,例4 证明函数 在区间0，+）上为增函数。,三判断函数单调性的方法步骤,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,1 取值： x1，x2D，且x1x2； 2 作差：f(x1)f(x2)； 3 变形：通常是因式分解和通分； 4 定号：即判断差f(x1)f(x2)的正负； 5 下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性,成果运用,若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。,(2)在区间（0，+）上是增函数的是 （ ）,成果运用,若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。,解：二次函数 的对称轴为 , 由图象可知只要 ，即 即可.,判断题： （1）已知f(x)= ，因为f(-1)f(2),所以函数f(x)是 增函数。 （2）若函数f(x)满足f (2)f(3),则函数f(x)在区间2，3 上为增函数。 （3）若函数f(x)在区间(1，2和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。 （4）因为函数f(x)= 在区间（-，0）和（0，+） 上都是减函数，所以f(x)= 在（-，0）（0，+） 上是减函数。,例5：证明函数 上是增函数。,例6：证明函数 在R上是增函数。,证明：任取,例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。,例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。,思考 例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？ 为什么？,所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数,是,（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是减函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？ 为什么？,（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？,反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性,不能,是,例2 如果 是m,n上的减函数，且 ， 是a,b上的增函数，求证 在m,n上也是减函数。,复合函数:,判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。 定义域： 1、若已知 的定义域为a,b,则复合函数 的定义域由 解出。 2、若已知 的定义域为a,b,则函数 的定义域即为,小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。,增函数,增函数,增函数,增函数,增函数,增函数,减函数,减函数,减函数,减函数,减函数,减函数,复合函数单调性,注：,1、复合函数y=fg(x)的单调区间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=fg(x)的单调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”,例1.设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2x)的单调区间。,小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。,（三）求复合函数的单调区间.,注意：