几何向量及线性运算31-323向量积(2).pptVIP

1,几何向量,第三章,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,2,本章内容提要, 几何向量的线性运算, 空间中的平面与直线,数量积、向量积、混合积 几何向量的坐标，用坐标表示 几何向量的运算.,3,“向量代数”的应用:,作为研究（空间）解析几何的工具； 研究数学中其它一些分支、力学及其 它学科的工具., 向量代数引言,3.1 向量及其线性运算,4,定义,有大小又有方向的量称为(几何)向量， 记为： , , , .,模: (长度、大小),几何表示:用有向线段,a = b 把起点平移在一起,则完全重合.,方向相同,大小相等.,3.1.1 向量的基本概念,自由向量:与起点无关的向量.,5,几种特殊的向量,单位向量:,负向量: a 的负向量与a 大小相等方向相 反,记为 -a .,零向量: ,记为0, 方向任意.,两向量共线:,同向或反向.,两向量共面:平行与同一平面的向量.,任意两向量都共面.,6,一、 向量的加法,分析一下物理中的两种有方向的量: 力的合成,可以引入向量加法的概念.,加法：,b,a,a+b,a,b,a+b,2.三角形法则,1.平行四边形法则,首尾相连,a起点 指向b终点,c = a+b,3.1.2 向量的线性运算,7,3.多边形法则：n个向量之和,只要把它们 相继地首尾连接后，从第一个向量的起点 到最后一个向量的终点的向量,即为和向量. 如,8,4.向量加法运算的性质,(1) 交换律: a + b = b+ a (2) 结合律: (a + b) + c = a +(b+ c) (3) 零向量: a +0 = 0 + a = a (4) 反向量: a +(- a) = (- a)+ a = 0 5.向量的减法: a - b = a +(-b),两起点置一处, b终点指向a终点,a - b,9,(1) 1a = a, (-1)a = -a (2) k(la)=(kl) a (3) (k+l)a= ka+la (4) k(a+b)=ka + kb,2. 数乘运算的性质:,1. 数乘:,二.向量的数乘,10,3.单位向量:,a0 ,a0 =,为与a同向 的单位向量.,4.平行:（共线）,注（1）,（2） a b无意义.,（3）,11,如果k 0 a = (-l/k)b a, b共线; 如果l 0 b = (-k/l)a a, b共线.,5.两个向量a,b共线存在不全为零的数 （平行）k,l 使ka + l b = 0.,a = kb或b = ka,存在 k 使得,ka + l b = 0.,12,6.三个向量a1,a2, a3共面是存在不全为零 的数k1, k2, k3使,证明思路 必要性: 分两种情况 其中有平行向量 其中两两不平行,a2,a3,a1,充分性: 不仿设k1不为零, 则有 a1= (-k2/k1)a2 +(-k3/k1)a3,13,例1,解 因为平行四边形的对角线互相平分,所以,14,3.2 向量的数量积,向量积和混合积,前面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算进行定量的描述.,3.2.1 向量在轴上的投影,15,注：零向量与任一向量的夹角可以在0 到 间任意 取值. 向量与轴及轴与轴的夹角都是正向 间不超过 的夹角.,2.点在u轴上的投影：若A为空间中一点, u 为一轴，过 A点作垂直于 u 轴的平面 ，则 与轴 的交点 为A在 轴 上的投影.,1.向量的夹角：,16,投影轴,u1,u2,3.向量在u轴上投影:,17,u,投影轴,u1,u2,4.公式:,18,向量的加法是从物理中力的合力抽象 出来的.向量的数量积也可以从物理中 力作功的计算公式抽象出来.,3.2.2 几何向量的数量积（数）,19,物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所 做的功是:,抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算.,20,一个向量的模乘以另一个向量在这个向量 上的投影.,数量积又称为点积、内积.,a,b,1.定义（数量积):,21,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）结合律：,注 （1） , 中未必有0向量, 也可. （2） 无意义. （3）数量积不满足消去律即,2.性质:,（4）,a (b-c),b-c,3.几何应用：,（1）求模长：,（2）求夹角：,（4）求投影：,a b ab=0,23,解,例1,24,用向量证明余弦定理.,例2,证,即,中,25,3.2.3 几何向量的向量积,1.定义: a, b 的向量积 ab 是一个向量,向量积也称为 叉积或外积.,2.几何意义：,都非零且不共线,则,以 为邻边的平行四边形的面积.,a,b,ab,模:,且a, b, ab成右手系,方向：,b a,26,（1）,（2）,（3）反交换律：,（4）结合律:,（5）分配律:,规定,3.性质:,27,(1)求平行四边形面积：,(2)求夹角：,(3)求平行四边形的高：,(4)可判断向量平行:,4.几何应用：,28,2.性质:,1.定义:三个向量a, b, c 的混合积是一个数,(1),(3) (叉积号与点积号互换,其值不变),3.2.4 向量的混合积（数）,(2),(对换变号),(4),(轮换对称性),记,29,3. 几何应用:,=