函数的最大(小)值与导数(4).ppt

1.3.3,1借助函数图象，直观地理解函数的最大值和 最小值概念. 2弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值 的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值 和最小值的充分条件.(重点) 3掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和 最小值的思想方法和步骤.(难点),f (x)0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,x2,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点,(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调性.,结论：极值点处，f(x) =0,1、导数与极值的关系,复习回顾,2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f(x)=0的根 （3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 若f (x)左正右负，则f(x)为极大值； 若 f (x)左负右正，则f(x)为极小值； 若 f (x)左右同号，则f(x)无极值。,求导求极点列表求极值,在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题,函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,新 课 引 入,极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,知识回顾,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,1最大值:,（1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，称M是函数y=f(x)的最大值,2最小值:,（1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，称M是函数y=f(x)的最小值,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,3.求函数最值的一般方法?,一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数,探究问题1：开区间上的最值问题,结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值,如何求出函数在a,b上的最值？,结论： 一般地，如果在区间，a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。,探究问题2：闭区间上的最值问题,思考：（1）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位 置取最值？,答：在极值位置处。,（2）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点， 那么这个极值点是否是最值点？,答：是。,找出f (x)在区间a,b的内最值,单调函数的最大值和最小值容易被找到。,找出f (x)在区间a,b的内最值,最大值是f (x3),函数y=f (x)在区间a,b上,最小值是f (x4).,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,f(x1)、f(x3),f(x2),f(b),f(x3),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,把函数y=f (x)的所有极值及端点的函数值进行比较,解:,当 变化时, 的变化情况如下表:,例1、求函数 在区间 上的最大值与最小值。,令 ,解得,又由于,（舍去）,函数在区间 上最大值为 ,最小值为,例2 求函数yx42x25在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令 ,解得x=-1，0，1.,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知，最大值是13，最小值是4.,13,4,5,4,13,0,0,0,2,(1,2),1,(0,1),0,(-1,0),-1,(-2,-1),-2,求函数y=f (x)在a,b上的最大值与最小值的步骤:,求函数y=f (x)在(a,b)内的极值; 将函数y=f (x)的各极值与端点处的函数值f (a), f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,注意,1) 函数的最值概念是全局性的,2) 函数的最大值（最小值）唯一,3) 函数的最大值大于等于最小值,4) 函数的最值可在端点处取得,堂上练习,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值,1下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f (x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能,D,A,堂上练习,A,4.函数y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是_.,-15,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数,2.求函数最值的一般方法：,3.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)，f(b)放在一起比较.,课后作业,阅读选修2-2教材P29-31; P31-32 习题1.3 A 组6 3. 课时提能演练七.,1.3.3,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数,2.求函数最值的一般方法：,复习回顾,3.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)，f(b)放在一起比较.,例3.,含参数的函数最值问题,解 显然a0. f(x)3ax212ax3ax(x4) 令f(x)0，解得x10，x24(舍去) (1)当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3. 又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2) 所以当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，a2. (2)当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以当x0时，f(x)取得最小值，所以b29. 又f(2)16a29，f(1)7a29，f(2)f(1) 所以当x2时，f(x)取得最大值，即16a293，a2. 综上所述a2，b3或a2，b29. 点拨 本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定a，b的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想,变式1：已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值。,令 3,解: (1) =-3x2+6x+9,函数f(x)的单调递减区间为 (-,-1) , (3,+),(2) f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,f(2)f(-2),于是有22+a=20,解得a=-2,f(x)=-x3+3x2+9x-2,f(x)在-1,2上单调递增,在(-1,3)上 0,又由于f(x)在-2,-1上单调递减，,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7。, f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的 最大值和最小值。,f(-1)=1+3-9-2=-7,变式2： 已知a是实数，函数f(x)x2(xa) (1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求f(x)在区间0,2上的最大值 分析 由题目可获取以下主要信息： 函数f(x)x2(xa)中含有参数a； 在a确定的情况下，求切线方程； 在a不确定的情况下求函数在区间0,2上的最大值 解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在0,2上的最大值,解析 (1)f(x)3x22ax. 因为f(1)32a3， 所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3， 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 3xy20.,与最值有关的不等式的恒成立问题,例4.,解：（I） （ ）， 当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1, 即h(t)=-t3+t-1. (II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由 =-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）. 当t变化时 、g(t)的变化情况如下表：,g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m h(t)1,？,变式：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=- 与x=1时都取得极值. (1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间. (2)若对x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.,解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b. 由 f(1)=3+2a+b=0得a=- ,b=-2,经检验，满足题意. f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 函数f(x)的单调区间如下表:,所以函数f(x)的递增区间是（-,- ）与(1,+),递减区间是（- ,1）.,(2)f(x)=x3- x2-2x+c,x-1,2, 当x=- 时， 为极大值, 而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值， 要使f(x)c2,x-1,2恒成立， 则只需要c2f(2)=2+c,得c-1或c2. 所以c的取值范围是(-,-1)(2,+).,