函数的概念、极限与连续性.ppt

1,推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,PS: 善于类比, 区别异同,多元函数微分学,2,一、平面点集,二、二元函数的概念,三、二元函数的极限,四、二元函数的连续性,第一节,多元函数的基本概念,3,一、平面点集,点P与数,之间的关系。,在一维空间中，,与有序实数组,就建立了一一对应的关系。,在二维空间中对应的点,之间,4,的全体构成了坐标平面；,记为：,若平面点的集合E由具有某种性质的点,的全体组成，记为：,如：,5,邻域：,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,基本概念：,6,例如，在平面上,开区域,闭区域,7,二、二元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 三角形面积的海伦公式,8,定义1. 设非空点集,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,则称 u 为定义,在 D 上的 n 元函数 , 记作,若对D 内的任意一点P,变量 u 按照一定的法则总有唯一确定的值与它对应，,9,函数,表示对应法则，此法则也可用,其他字母来表示，函数也可记成,设点,是,定义域内的一点，,有唯,一确定的值与它对应。,这个值就称为二元函数,在点,处的函数值，记作：,用点函数表示：,在点,处的函数值：,10,若函数,在点,处对应有函数值存在，,则称此函数在点,处是有定义的，否则称此函数,在点,处无定义。,例1：求,的定义域，并作其图形。,解：由反三角函数的定义知：,其点集介于直线,之间,11,例如, 二元函数,定义域为,圆域,图形为中心在原点的上半球面.,12,二元函数 z = f (x, y), (x, y) D,为空间曲面 .,说明,的图形一般为,13,14,15,三、二元函数的极限,定义2. 设 二 元函数,点 ,则称 A 为函数,(也称为 二 重极限),若记,二元函数的极限可写作：,P0 是 D 的内,若存在常数 A ,对一切,记作,都有,对任意正数 , 总存在正数 ,16,例1. 设,求证：,证:,故,17,或,例2,例3,18,例4 求,解:,此函数定义域 不包括 x , y 轴,则原式,19,求极限,解,其中,例5,20,函数趋于不同值或有的极限不存在，,则可以断定,以不同方式趋于,函数极限不存在 .,注 (1) 二元函数求极限中，点,必须是以任何方式都有, 若当点,(2) 有关一元函数极限的运算法则和定理,以及,无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数.,21,例6. 讨论函数,在点 (0, 0) 的极限.,解: 此函数必有,1. 当点,2. 当点,22,设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,23,四、 二元函数的连续性,定义3 . 设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,如果,否则称,此时,称为间断点 .,则称 n 元函数,连续.,连续,二元函数在点 P0 处连续性的表达方法:,2. 全增量,为不连续,24,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,25,26,27,和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称多,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算,元初等函数,多元初等函数,28,定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3)