函数的最大值与最小值(3).ppt

25函数的最大值与最小值（二）,教学目的： 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题。 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题,复习引入,1、函数的最大值和最小值,定理：一般地，在闭区间a，b上连续的函数f（x） 在a，b上必有最大值与最小值,函数f（x）在闭区间a，b上连续，是f（x）在闭区间a，b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件,2、利用导数求函数最值的步骤,一般地,设y=f(x)是定义在a,b上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值,可分为两步进行:,求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值); 将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.,在日常生活、生产和科研中，常常会遇到在什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值的问题。我们已经学过了利用二次函数、均值不等式求最值，今天来学习利用导数解决这类问题。,学习新课,例1 用边长为60 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先 在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图) ，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？,例题讲解,解法一：设水箱底边长为xcm，则水箱高 cm， 水箱容积,令 0，解得 x=0（舍去），x=40，,求得 V(40)=16 000,当x在(0,60)内变化时,导数V(x)的正负如下表,因此在x=40处,函数V(x)取得 极大值,并且这个极大值就是 函数V(x)的最大值.,答:水箱底边长取40cm时,容积最大,最大容积为16 000cm3.,解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得 箱子容积,由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处以下同解法一.,说明:在实际问题中如果可以断定可导函数在定义域开区间内存在最大值(或最小值),而且f(x)在这个定义域开区间内又只有唯一的极值点,那么可以立即断定,这个极值点的函数值就是最大值(或最小值) (不必与端点的函数值比较) .这一点在解决实际问题中很有用.,课堂练习：课本P45练习1，2题,练习解答：,1. 把长度为 的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成的矩形的面积最大。,解：设所围矩形长 ，则宽为 矩形面积 求导数得 令 得 列表 故 时，函数有极大 值且是最大值。 答：将线段分成相等的四段所围矩形面积最大。,课堂练习：课本P45练习1，2题,【解题回顾】,1.求最大（小）值应用问题的一般方法：,分析、联系、抽象、转化,数学方法,数学结果,实际结果,回答问题,实际问题,建立数学模型 （列数学关系式）,解决应用性问题的关键是读题懂题建立数学关系式。,2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点 使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值， 那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大 (小)值。这里所说的也适用于开区间或无穷区间。,【课堂小结】,解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义 根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较 相当多有关最值的实际问题用导数方法解决比较简单 。,作业：P46习题2.5第2，3题。,答：产量q为84时，利润L最大。,例2已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q， 价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为 何值时，利润L最大？,分析：利润 L 等于收入R 减去成本C，而收入R 等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的