浙江专版2019版高考数学一轮复习第三章函数导数及其应用学案.docx

第三章 函数、导数及其应用第一节函数及其表示1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数小题体验1(2018台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是()Af(x)x2，g(x)Bf(x)，g(x)Cf(x)1，g(x)(x1)0Df(x)，g(x)x3解析：选B选项A中，f(x)x2与g(x)的定义域相同，但对应关系不同；选项B中，二者的定义域都为x|x0，对应关系也相同；选项C中，f(x)1的定义域为R，g(x)(x1)0的定义域为x|x1；选项D中，f(x)的定义域为x|x3，g(x)x3的定义域为R.2若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()答案：B3(2018金华调研)已知函数f(x)的定义域为M，g(x)ln(1x)的定义域为N，则M(RN)()Ax|x1Bx|x1C Dx|1x1解析：选A因为函数f(x)的定义域为Mx|1x1，g(x)ln(1x)的定义域为Nx|x1，所以RNx|x1，M(RN)x|1x1x|x1x|x1故选A.4已知f(x)3x32x1，若f(a)2，则f(a)_.解析：f(x)3x32x1，f(a)f(a)3a32a13(a)32(a)12，f(a)2f(a)0.答案：01求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域2分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论小题纠偏1(2018嘉兴模拟)已知函数f(x)则f_，方程f(x)2的解为_解析：fff(1)0.当x0时，log2x2，得x4；当x0时，x2x2，得x2或x1(舍去)所以f(x)2的解为2或4.答案：02或42已知fx25x，则f(x)_.解析：令t，x.f(t).f(x)(x0)答案：(x0)题组练透1函数f(x)ln(x2x)的定义域为()A(0,1)B0,1C(，0)(1，) D(，01，)解析：选C由题意知，x2x0，即x1.则函数的定义域为(，0)(1，)，故选C.2(2018金华模拟)若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是()A(0,1) B0,1)C0,1)(1,4 D0,1解析：选A根据题意解得0x1，故选A.3(2018湖州模拟)若函数f(x)定义域为R，则实数a的取值范围为()A3，1 B1,3C1,3 D3,1解析：选D若函数f(x)定义域为R，则x2(a1)x10在R上恒成立，(a1)240，解得3a1，故选D.4函数f(x)(a0且a1)的定义域为_解析：由0x2，故所求函数的定义域为(0,2答案：(0,2谨记通法函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为a，b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域典例引领(1)已知fx2，求f(x)的解析式；(2)已知flg x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)；(4)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式解：(1)(配凑法)由于fx222，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22，x2或x2.(2)(换元法)令1t得x，代入得f(t)lg，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x1.(3)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(4)(解方程组法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得，3f(x)2x12x.即f(x).f(x)的解析式是f(x).由题悟法求函数解析式的4种方法即时应用1已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：(换元法)设t1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二：(配凑法)x2()2211(1)21，f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，解得c1.故f(x)x22x1.锁定考向高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与方程、不等式问题 题点全练角度一：分段函数的函数求值问题1(2018杭州四校联考)已知函数f(x)则f(f(4)的值为()AB9C. D9解析：选C因为f(x)所以f(f(4)f(2).角度二：分段函数的自变量求值问题2(2018杭州模拟)设函数f(x)，则f(f(4)_；若f(a)1，则a_.解析：函数f(x)则f(4)242131. f(f(4)f(31)log2(131)5.当a1时，f(a)1，可得2a211，解得a1；当a1时，f(a)1，可得log2(1a)1，解得a.答案：51或角度三：分段函数与方程、不等式问题3(2018湖州模拟)已知函数f(x)则f(f(2)_；若f(x)2，则实数x的取值范围是_解析：由分段函数的表达式得f(2)log221，f(1)212，则f(f(2)2.若x0，由f(x)2得2x2，所以x1，若x0，由f(x)2得log2(x)2，即x4，所以x4，综上，实数x的取值范围为(，41，)答案：2(，41，)通法在握1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验2分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来演练冲关1(2018杭州六校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)，且当0x1时，f(x)x2x，则f()ABC D解析：选Df(x1)2f(x)，f(x)f(x1)，fffff，又当0x1时，f(x)x2x，f.原式，故选D.2设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1C. D1，)解析：选C由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选C.3(2018宁波模拟)设f(x)则f(f(1)_，不等式f(x)2的解集为_解析：f(f(1)f(2)log3(41)1.若f(x)2，则2ex12(x2(x2)，即ex11e0，或x219，解得1x.答案：1(1,2)(，)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018温州模拟)函数f(x)lg(3x25x2)的定义域是()A.BC. D.解析：选B要使原函数有意义，则解得x1.故函数f(x)lg(3x25x2)的定义域是.2已知f2x5，且f(a)6，则a等于()A B.C. D解析：选B令tx1，则x2t2，f(t)2(2t2)54t1，则4a16，解得a.3(2018金华十校联考)已知实数对(x，y)，设映射f：(x，y)，并定义|(x，y)|，若|f(f(f(x，y)|8，则|(x，y)|的值为()A4 B8C16 D32解析：选C映射f：(x，y)，f(f(f(x，y)ff，定义|(x，y)|，若|f(f(f(x，y)|8，8， 8，16，|(x，y)|的值为16，故选C.4已知f(x)满足flg x，则f_.解析：令1，得x10，flg 101.答案：15(2018绍兴模拟)设函数f(x)则f_，方程f(f(x)1的解集为_解析：fln0，ffeln .x0时，0ex1，x0时，ex1，当f(x)0时，由方程f(f(x)1，可得f(x)0，即ln x0，解得x1.当f(x)0时，由方程f(f(x)1，可得lnf(x)1，f(x)e，即ln xe，解得xee.答案：1，ee二保高考，全练题型做到高考达标1已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为()A2 B2C2或2 D.解析：选B当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，解得x02.当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，无解所以x02，故选B.2(2018长沙四校联考)f(x)则f()A2 B3C9 D9解析：选Cflog32，ff(2)29.故选C.3(2018金华模拟)函数f(x)lg的定义域为()A(2,3) B(2,4C(2,3)(3,4 D(1,3)(3,6解析：选C要使函数有意义，则即3x4或2x3，即函数的定义域为(2,3)(3,44已知函数yf(x)的定义域是0,3，则函数g(x)的定义域是()A. B0,1)C0,1)(1,3 D0,1)(1,9解析：选B由可得0x1，选B.5(2018杭州五校联考)设m为不小于2的正整数，对任意nZ，若nqmr(其中q，rZ，且0r2，f(2a2)log2(2a22)a.答案：a8(2018稽阳联考)已知f(x)若f，则a_；若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_解析：f(x)f1，则ffa8a，得a8.由yx1，x0，得y1；由yxa，x0，得y4a，f(x)的值域为R，4a1，解得a3.答案：83，)9记x为不超过x的最大整数，如1.22，2.32，已知函数f(x)则f(f(1.2)_，f(x)3的解集为_解析：根据x的定义，得f(f(1.2)f(2.44)22.4413.当x1时，由f(x)2x13，得x2，所以x1,3)；当x1时，由f(x)x213，得x0时，1a1.由f(1a)f(1a)得22aa1a2a，解得a，不合题意；当a1,1a1，由f(1a)f(1a)得1a2a22aa，解得a，所以a的值为，故选B.2(2018金华模拟)设对一切实数x，函数f(x)都满足：xf(x)2f(2x)1，则f(4)_.解析：xf(x)2f(2x)1，4f(4)2f(2)1，2f(2)2f(4)1，4f(4)2f(4)11，解得f(4)0.答案：03.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：ymxn(m，n是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图(1)求出y关于x的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度解：(1)由题意及函数图象，得解得m，n0，所以y(x0)(2)令25.2，得72x70.x0，0x70.故行驶的最大速度是70千米/时第二节函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值小题体验1yx26x5在区间(，a)上单调递减，则a的取值范围为_解析：yx26x5(x3)24，表示开口向上，对称轴为x3的抛物线，其单调减区间为(，3，所以a3.答案：(，32若函数f(x)在区间2，a上的最大值与最小值的和为，则a_.解析：由f(x)的图象知，f(x)在(0，)上是减函数，2，a(0，)，f(x)在2，a上也是减函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(a)，a4.答案：43(2018丽水模拟)已知函数 f(x)则f(f(3)_，f(x)的单调递减区间是_解析：f(3)log31，f(f(3)f(1)1234.当x1时，f(x)x22x3(x1)24，对称轴x1，f(x)在1,1上单调递减，且f(1)0，当x1时，f(x)单调递减，且f(x)0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数2试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解：法一：(定义法)设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上递增3判断函数y在(1，)上的单调性解：法一：任取x1，x2(1，)，且x11，x21，x110，x210，又x10，0，即y1y20.y1y2，函数y在(1，)上单调递减法二：y1.yx1在(1，)上是增函数，y在(1，)上是减函数，y1在(1，)上是减函数即函数y在(1，)上单调递减谨记通法判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤(1)定义法，其基本步骤：取值(2)导数法，其基本步骤：典例引领求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)解：(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x1或x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)由题悟法确定函数的单调区间的3种方法提醒单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结即时应用1函数y|x|(1x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A(，0)BC0，) D.解析：选By|x|(1x)画出函数的草图，如图由图易知原函数在上单调递增故选B.2(2018温州十校联考)函数f(x)lg(9x2)的定义域为_；其单调递增区间为_解析：对于函数f(x)lg(9x2)，令t9x20，解得3x3，可得函数的定义域为(3,3)令g(x)9x2，则函数f(x)lg(g(x)，又函数g(x)在定义域内的增区间为(3,0所以函数f(x)lg(9x2)在定义域内的单调递增区间为(3,0答案：(3,3)(3,0锁定考向高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值 题点全练角度一：求函数的值域或最值1(2018台州三区适应性考试)已知函数f(x)2xax3bsin x(a0，b0)，若x0,1时，f(x)的最大值为3，则x1,0)时，f(x)的最小值是_解析：因为函数f(x)2xax3bsin x在区间1,1上为单调递增函数所以当x0,1时，f(x)的最大值为f(1)2a13bsin 13，absin 11，当x1,0)时，f(x)的最小值为f(1)21a(1)3bsin(1)(absin 1).答案：角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2(2018杭州模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacb Dbac解析：选D因f(x)的图象关于直线x1对称由此可得ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12ff(e)，bac.角度三：解函数不等式3已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析：选C由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即1x0或0x1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4(2018衢州模拟)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得af(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)解析：选D当x0时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是一条连续的曲线当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x0时，函数f(x)a|xb|1在(，b上是减函数，在(b，)上是增函数，不满足函数f(x)a|xb|1在(1，)上是减函数；当a0时，f(x)1，不满足函数f(x)a|xb|1在(1，)上是减函数；当a0时，函数f(x)a|xb|1在(，b上是增函数，在(b，)上是减函数，因为函数f(x)a|xb|1在(1，)上是减函数，所以a0且b1，即a0，m，当且仅当时等号成立，即m的最大值是.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)解析：选B设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)2已知函数f(x)是定义在R上的偶函数， 且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f2f(1)，则a的取值范围是()A1,2 B.C. D(0,2解析：选C因为log alog2 a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)f(log a)2f(log2a)2f(|log2a|)2f(1)，即f(|log2a|)f(1)，又函数在0，)上单调递增，所以0|log2a|1，即1log2 a1，解得a2.3定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x，且f(x)在(1,1)上单调递减，f1，且f(x)在(1,1)上为减函数，ff，该选项错误；D.，x(1,0时，x10,1x0，.x(0,1)时，x10，综上得，f(x)为(1,1)上的减函数，ff，该选项正确6函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.解析：易知f(x)在a，b上为减函数，即ab6.答案：67(2017嘉兴期中)若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)f(x)0；(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，恒有0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析：函数g(x)在0，)上为增函数，则14m0，即m1，则函数f(x)在1,2上的最小值为m，最大值为a24，解得a2，m，与m矛盾；当0a0，使得|f(x)|M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为“圆锥托底型”函数(1)判断函数f(x)2x，g(x)x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由(2)若f(x)x21是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值解：(1)函数f(x)2x.|2x|2|x|2|x|，即对于一切实数x使得|f(x)|2|x|成立，函数f(x)2x是“圆锥托底型”函数对于g(x)x3，如果存在M0满足|x3|M|x|，而当x时，由3M，M，得M0，矛盾，g(x)x3不是“圆锥托底型”函数(2)f(x)x21是“圆锥托底型”函数，故存在M0，使得|f(x)|x21|M|x|对于任意实数恒成立x0时，M|x|，此时当x1时，|x|取得最小值2，M2.而当x0时，也成立M的最大值等于2.10已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)证明：当x(0，)时，f(x)a，设0x10，x2x10，f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意a2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x，则ah(x)在(1，)上恒成立任取x1，x2(1，)且x1x2，h(x1)h(x2)(x1x2).因为1x1x2，所以x1x21，所以20，所以h(x1)g(x1)g(x2)2恒成立则()AF(x)，G(x)都是增函数BF(x)，G(x)都是减函数CF(x)是增函数，G(x)是减函数DF(x)是减函数，G(x)是增函数解析：选A对任意x1，x2R(x1x2)，不等式f(x1)f(x2)2g(x1)g(x2)2恒成立，不妨设x1x2，f(x)单调递增，f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，且f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，F(x1)f(x1)g(x1)，F(x2)f(x2)g(x2)，F(x1)F(x2)f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)f(x1)f(x2)0，F(x)为增函数；同理可证G(x)为增函数2已知