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文档简介

第三节 函数极限的定义,一、自变量的变化过程,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,三、自变量趋向有限值时函数的极限,四、函数极限的性质,一、自变量的变化过程,播放,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,通过上面演示实验的观察:,问题:,1. x +时 f (x) 的极限,定义 设 f(x) 在 x a (a0)有定义 , 对任意给定的正数 ,总存在正数 X , 当 x X 时，恒有| f(x)A|，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x+ 时的极限 .,几何意义,例1,证,2. x 时 f (x) 的极限,几何意义,例2,证,3. x 时f(x)的极限,定理：,几何意义,例3,证,4. 水平渐近线 (horizontal asymptote),例如：,三、自变量趋向有限值时函数的极限,问题:,1. x x0 时 f (x) 的极限,定义 若存在常数 A ,对任意给定的正数 0, 总 存在正数 0,只要 f 的定义域中的点 x 满足 0|x x0| 时，恒有 |f(x)A| 成立，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x x0时的极限,简称 A 是 f (x)在 x0 处的极限.,几何意义,说明,例1,证,例2,证,函数在点x=1处没有定义.,例3,证,用定义证明 的过程 ：,1. 把| f(x)A|化简为| f(x)A| k |x x0| ;,2. 要| f(x)A|,只要 k |x x0| ;,4. 验证.,重要结论,幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数等基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值.,2.单侧极限:,例如,左极限定义,右极限定义,定理,由此有,左右极限存在但不相等,例1,证,在分段点处的极限应考察两侧,四、函数极限的性质,定理1 若极限 (或 )存在，则极限是惟一的.,1. 极限的惟一性,证,不妨设 A B ,由定义, 对,故极限若存在则必唯一.,定理2,定理2,2. 有极限的函数的局部有界性,几何意义,定理3(局部保号性),3. 极限的局部保号性,定理3,推论,定理(保序性),推论,4.函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系),定义：,定理：,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,判别极限不存在的一个命题,例1,证,二者不相等,五、小结,函数极限的统一定义,(见下表),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,一、填空题:,练 习 题,练习题答案,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向
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