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一、近似计算,二、欧拉公式,11.5 函数的幂级数展开式的应用,2.9926.,一、近似计算,计算,的近似值,要求误差不超过,0,.,0001,.,例1,5,/,1,4,5,5,),3,1,1,(,3,3,243,240,-,=,-,=,解,如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为,解,例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001.,已知,两式相减得,提示:,这个幂级数收敛速度较慢, 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数.,如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为,解,例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001.,已知,例3,解,在,sin,x,的幂级数展开式中令,得,其误差为,取前两项得,将被积函数换成其幂级数展开式得,解,前四项的和作为近似值 其误差为,所以,展开被积函数 有,解,在区间0 1上逐项积分 得,因为第四项,所以取前三项的和作为积分的近似值,二、欧拉公式,复数项级数,设有复数项级数(univn), 其中un, vn(n=1, 2, 3, )为实常数或实函数. 如果实部所成的级数un收敛于和u, 并且虚部所成的级数vn收敛于和v, 就说复数项级数收敛且和为u+iv.,如果级(univn)的各项的模所构成的级数|univn|收敛, 则称级数(univn)绝对收敛.,绝对收敛,复变量指数函数,考察复数项级数,可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的, 在x轴上它表示指数函数ex, 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数, 记为ez . 即,欧拉公式,当x=0时, z=iy ,=cos y+isin y.,于是,这就是欧拉公式.,把y换成x得 eix=cos x+isin x,复变量指数函数,eix=cos x+isin x.,其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的辐角.,复数的指数形式,复数z可以表示为,z=r(cos q+isin q)=reiq ,欧拉公式,复变量指数函数,三角函数与复变量指数函数之间的联系,因为eix=cos x+i sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以 eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x. 因此,
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