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文档简介

函数的最大值与最小值,授课者:钱昭福,问题1:极大值.极小值定义,问题2:求函数极值的三个步骤,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义, 若对x0附近的所有点x,f(x)f(x0),则f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.,1,求导数f (x);,2,求方程f (x)=0的根;,3,检查f (x)在方程f (x)=0的根的左右的符号,若左正右负,则函数y=f(x)在这个根处取得极大值;若左负右正,则函数y=f(x)在这个根处取得极小值;,复习引入,观察下面一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图像,问题1: 在图中f(a),f(x1), f(x2), f(x3), f(b)哪些是极大值,哪些是极小值?,解：f(x2)是极大值， f(x1) 与f(x3)都是极小值。,解：从函数图像中看出： f(x1)是最小值，f(b)是最大值。,问题2:在区间a,b上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?,x,问题3:函数最大（小）值与函数极大（小）值的区别与联系？,问题4:设函数y=f(x)是定义在a,b的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在a,b上的最大,最小值,你认为通过什么方法求解?,解：函数最大、最小值是研究整个定义域上的函数值而得出的， 函数的极值则是研究极值点附近的函数值而得出的，是局部的。,1.求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值);,2.将y=f(x) 的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值.,练习：求函数y= x3-12x+16在区间-3,3上的最大值与最小值.,例1 求函数y= x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,（1）函数最大值与最小值的求法。,试将8分成两数的和,使这两数的立方和最小.,（2）极大、极小值与最大、最小值的区别与联系。,思考题,1. P46 第1题; 2.函数f(x)=-x2-2ax在区间0,1上的最大值是a2,求实数a的取值范围.,作业,小结,例2 函数y=3x+7,求2x2+y2的最小值？,练习：已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数）在-2，2上有最大值3，求函数在-2，2上的最小值。,例3 已知在区间 ，2上,函数f(x)=x2+px+q与 g(x)= 在同一点取得相同的最小值 （1）求p,q的值？ （2）求f(x)在 ,2 上的最大值？,练习：已知y=2x,求y2(x2-2)在-2，2上的最值。,例4:(本章引言的问题)用边长为60 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边形翻转900角,再焊接而成.问水箱的底边长取多少时,水箱容积最大.最大容积是多少?,例5 已知某商品生产成本C与产
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