函数的连续性与连续函数的运算(3).ppt

第八节 函数的连续性与 连续函数的运算,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、连续函数的运算,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续(continuous)的定义,定义1 设函数 在 内有定义，如 果当自变量的增量 趋向于零时，对应的函 数的增量 也趋向于零，即 或 ,那末就称函数 在点 连续， 称为 的连续点.,定义2 设函数 在 内有定义,如果 函数 当 时的极限存在,且等于它在 点 处的函数值 ,即 那末就称函数 在点 连续.,定义3,设函数 在 内有定义,称函数 在点 连续.,例1,证,由定义2可推得：,例,3.单侧连续,定理,例,例2,解,例2,解,右连续但不左连续 ,4. 连续函数(continuous function)与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间上连续，或者叫做在该区间上的连续函数.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,基本初等函数在其定义区间内是连续的.,重要结论,基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值.,例3,证,例4,解,例5,解,二、函数的间断点,(1) 跳跃间断点,例1,解,1.第一类间断点,(2) 可去间断点,例2,例3,例2,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例2中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,如例3中,2. 第二类间断点,(1) 无穷间断点,例如,例4,解,(2) 振荡间断点,例5,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,间断点的分类：,第一类 间断点,第二类 间断点,间断点,可去间断点：,跳跃间断点：,无穷间断点,振荡间断点,三、连续函数的运算 1、四则运算的连续性,定理1,例如,三角函数在其定义域内皆连续.,例,2、反函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,同理：反三角函数在其定义域内皆连续.,3、复合函数的连续性,定理3,例如,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,注意 定理3是定理4的特殊情况.,定理4,例1,解,例2,解,同理可得,4、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续 ),4、初等函数的连续性,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的任一区间区间.,例1,解,例2,解,1. 初等函数求极限的方法代入法.,注意,2. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在点x= 0的邻域内没有定义.,求 f (x) 的连续区间, 就是求 f (x) 的定义区间.,3. 分段函数的连续性：各段内部的连续性及各分段点处的连续性.,解,四、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型 , 跳跃型 .,第二类间断点:无穷型 , 振荡型 .,间断点, 连续函数的和差积商的连续性., 复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.,两个定理; 两点意义., 反函数的连续性.,思考题,思考题1解答,且,但反之不成立.,例,但,思考题2解答,是它的可去间断点,练 习 题 一,练习题一答案,练 习 题 二,练习题二答案,定理3,证,将上两步合起来:,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,