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高考达标检测(三十五) 圆的方程命题3角度求方程、算最值、定轨迹一、选择题1原点位于圆x2y22ax2y(a1)20(a1)的()A圆内B圆上C圆外 D均有可能解析:选C把原点坐标代入圆的方程得(a1)20(a1),所以点在圆外,故选C.2已知圆C与直线yx及xy40都相切,圆心在直线yx上,则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析:选D由题意知xy0 和xy40之间的距离为2,所以r.又因为yx与xy0,xy40均垂直,所以由yx和xy0联立得交点坐标为(0,0),由yx 和xy40联立得交点坐标为(2,2),所以圆心坐标为(1,1),所以圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.3(2018广州测试)圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为()A(x2)2(y1)21 B(x1)2(y2)21C(x2)2(y1)21 D(x1)2(y2)21解析:选A圆心(1,2)关于直线yx对称的点为(2,1),圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为(x2)2(y1)21.4一束光线从点(1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x2)2(y3)21上的最短路径长度是()A4 B5C3 D2解析:选A由题意可得圆心C(2,3),半径为r1, 点A关于x轴的对称点为A(1,1), 求得|AC|5, 故要求的最短路径的长为|AC|r514. 5已知点M是直线3x4y20上的动点,点N为圆(x1)2(y1)21上的动点,则|MN|的最小值是()A. B1C. D.解析:选C因为圆心(1,1)到点M的距离的最小值为点(1,1)到直线3x4y20的距离d,所以点N到点M的距离|MN|的最小值为1.6若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y2的距离等于1,则半径r的取值范围是()A(4,6) B4,6C4,6) D(4,6解析:选A易求圆心(3,5)到直线4x3y2的距离为5.令 r4,可知圆上只有一点到已知直线的距离为1;令r6,可知圆上有三点到已知直线的距离为1,所以半径r取值范围在(4,6)之间符合题意7已知圆C关于x轴对称,经过点(0,1),且被y轴分成两段弧,弧长之比为21,则圆的方程为()Ax22Bx22C.2y2D.2y2解析:选C设圆的方程为(xa)2y2r2(a0),圆C与y轴交于点A(0,1),B(0,1),由弧长之比为21,易知OCAACB12060,则tan 60,所以a|OC|,即圆心坐标为,r2|AC|2122.所以圆的方程为2y2.8已知圆C:(x3)2(y4)21和两点A(m,0),B(m,0)(m0)若圆C 上存在点P,使得 APB90,则 m的最大值为()A7 B6C5 D4解析:选B根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r1,且|AB|2m,因为APB90,连接OP,易知|OP|AB|m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5,所以|OP|max|OC|r6,即m 的最大值为6.二、填空题9在平面直角坐标系内,若圆C:x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为_解析:圆C的标准方程为(xa)2(y2a)24,所以圆心为(a,2a),半径r2,故由题意知解得a2,故实数a的取值范围为(,2)答案:(,2)10当方程x2y2kx2yk20所表示的圆的面积取最大值时,直线y(k1)x2的倾斜角_.解析:由题意知,圆的半径r 1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k0,r1,所以直线方程为yx2,则有tan 1,又0,),故.答案:11已知圆C:x2y22x4y10的圆心在直线axby10上,则ab的取值范围是_解析:把圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24,圆心坐标为(1,2),根据题意可知,圆心在直线axby10上,把圆心坐标代入直线方程得,a2b10,即a12b,则ab(12b)b2b2b22,当b时,ab有最大值,故ab的取值范围为.答案:12已知圆O:x2y21,直线x2y50上的动点P,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为_解析:过O作OP垂直于直线x2y50,过P作圆O的切线PA,连接OA,易知此时|PA|的值最小由点到直线的距离公式,得|OP|.又|OA|1,所以|PA|2.答案:2三、解答题13(2018湖南六校联考)已知直线l:4x3y100,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)设圆心C(a,0),则2a0或a5(舍去)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时,x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为yk(x1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k21)x22k2xk240,所以x1x2,x1x2.若x轴平分ANB,则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4,所以当点N为(4,0)时,能使x轴平分ANB.14在OAB中,已知O(0,0),A(8,0),B(0,6),OAB的内切圆的方程为(x2)2(y2)24,P是圆上一点(1)求点P到直线l:4x3y110的距离的最大值和最小值;(2)若S|PO|2|PA|2|PB|2,求S的最大值和最小值解:(1)由题意得圆心(2,2)到直线l:4x3y110的距离d52,故点P到直线l的距离的最大值为527,最小值为523.(2)设点P的坐标为(x,y),则Sx2y2(x8)2y2x2(y6)23(x2y24x4y)4x1004x88,而(x2)24,所以2x22,即0x4,所以164x0,所以72S88,即当x0时,Smax88,当x4时,Smin72.1已知圆O:x2y21,圆B:(x3)2(y4)24,P是平面内一动点,过点P作圆O,圆B的切线,切点分别为D,E,若|PE|PD|,则点P到坐标原点O的距离的最小值为_解析:设P(x,y),因为|PE|PD|,|PD|2|OD|2|PO|2,|PE|2|BE|2|PB|2,所以x2y21(x3)2(y4)24,整理得:3x4y110, 点P到坐标原点O的距离的最小值就是点O到3x4y110的距离, 所以点P到坐标原点O的距离的最小值为. 答案:2已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点,求的最小值解:(1)设圆心C(a,b)
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