2019版高考数学复习不等式推理与证明课时达标38数学归纳法.docx

第38讲 数学归纳法解密考纲在高考中，数学归纳法常在压轴题中使用，考查利用数学归纳法证明不等式一、选择题1用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为(B)A2k1B2(2k1)CD解析 当nk时，有(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，则当nk1时，有(k2)(k3)(2k1)(2k2)显然增乘的2(2k1)2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(C)A2B3C5D6解析 n4时，24421；n5时，25521，故n05.3已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是(A)Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析 f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2，故选A4(2018安徽黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(B)Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立解析 根据数学归纳法步骤可知，要证n为正偶数对原式成立，已知假设nk(k2且k为偶然)时，命题为真，则下一步需证下一个正偶数即nk2时命题为真，故选B5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是(D)A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4成立，则f(1)1成立C若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析 A，B项与题设中不等方向不同，故A，B项错；C项中，应该是k3时，均有f(k)k2成立；D项符合题意6对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式成立(D)A过程全部正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1推理不正确解析 在nk1时，没有应用nk时的假设，即从nk到nk1的推理不正确，故选D二、填空题7用数学归纳法证明11)时，第一步应验证的不等式是_11知，n取第一个值n02，当n2时，不等式为12.8设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析 由(S11)2S，得：S1；由(S21)2(S2S1)S2，得：S2；由(S31)2(S3S2)S3，得：S3.猜想Sn.9设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)个平面区域，则f(2)_4_，f(n)_n2n2_(n1，nN*)解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.三、解答题10求证：1(nN*)证明 当n1时，左边1，右边，左边右边，等式成立假设nk(kN*)时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合，可知，对一切nN*等式成立11用数学归纳法证明12(nN*，n2)证明 当n2时，12，命题成立假设nk(k2，且kN*)时命题成立，即12.当nk1时，12231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1.当n