2019版高考数学总复习专题八鸭内容8.2不等式选讲精选刷题练理.docx

8.2不等式选讲命题角度1含绝对值不等式的图象与解法高考真题体验对方向1.(2018全国23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.解(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.2.(2017全国23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.解(1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x1时,式化为x2+x-40,从而11的解集.解(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5,故f(x)1的解集为x|1x3;f(x)1的解集为.新题演练提能刷高分1.(2018安徽淮南一模)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)ax的解集非空,求a的取值范围.解(1)由于f(x)=则y=f(x)的图象如图所示:(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a或a-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点,故不等式f(x)ax的解集非空时,a的取值范围是(-,-2),+.2.(2018河北邯郸一模)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.解(1)由f(x)2,得解得0x5,故不等式f(x)2的解集为0,5.(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=作出函数f(x)的图象,如图所示,直线y=kx-2过定点C(0,-2),当此直线经过点B(4,0)时,k=;当此直线与直线AD平行时,k=-2.故由图可知,k(-,-2),+.3.(2018安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f(x)-6的解集;(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=|x+1|-2|x|=则不等式f(x)-6等价于解得x-5或x7.故不等式f(x)-6的解集为x|x-5或x7.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,ABC的面积取得最大值43=6,f(x)的图象与直线y=a围成图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a-2.ABC的面积是6,梯形ABED的面积不小于8.AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,(4-2a)(-2-a)14-6=8,a212.又a-2,则a-2,故实数a的取值范围是(-,-2.4.(2018福建漳州期末调研)已知函数f(x)=|2x-1|+2|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)解不等式f(x)8.解(1)因为f(x)=|2x-1|+2|x+2|(2x-1)-2(x+2)|=5,所以f(x)=(2)当x-2时,由-4x-3-,即-x-2;当-2x时,5时,由4x+38,解得x,即x1.(1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x2时,由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1.当2x1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为0x,所以1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.2.(2018全国23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).3.(2017全国23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解(1)f(x)=当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范围为.4.(2016全国24)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当xR时,f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(分类讨论)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).新题演练提能刷高分1.(2018江西新课程质量监测)已知函数f(x)=|x+1|-|x-a|,其中a为实数.(1)当a=1时,解不等式f(x)1;(2)当x0,+)时,不等式f(x)2恒成立,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|=故f(x)1x,即不等式f(x)1的解集是,+.(2)当x0,+)时,f(x)2|x+1|-|x-a|2x+1-|x-a|x-1,当x0,1)时,x-1x-1或a-xx-1,求得a1.综上,a(-,1).2.(2018山东济南一模)已知函数f(x)=|2x-2|-|x+2|.(1)求不等式f(x)6的解集;(2)当xR时,f(x)-x+a恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当x-2时,f(x)=-x+4,f(x)6-x+46x-2,故x-2;当-2x1时,f(x)=-3x,f(x)6-3x6x-2,故x;当x1时,f(x)=x-4,f(x)6x-46x10,故x10.综上可知:f(x)6的解集为(-,-210,+).(2)由(1)知:f(x)=当x-2时,-x+4-x+a恒成立,a4,当-2x1时,-3x-x+a恒成立,a-2,当x1时,x-4-x+a恒成立,a-2.综上,实数a的取值范围为(-,-2.3.(2018山西一模)已知函数f(x)=|x-1|-a(aR).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值;(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值.解(1)因为f(x)min=f(1)=-a,所以-a3,解得a-3,即amax=-3;(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|,当a=-1时,g(x)=3|x-1|0,03,所以a=-1不符合题意,当a-1时,同法可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2.综上,a=2或-4.4.(2018山东潍坊一模)设函数f(x)=|ax+1|+|x-a|(a0),g(x)=x2+x.(1)当a=1时,求不等式g(x)f(x)的解集;(2)已知f(x),求a的取值范围.解(1)当a=1时,不等式g(x)f(x),即x2+x|x+1|+|x-1|,当x1时,x2+x2x,x2-x0,x1或x0,此时,x1,不等式的解集为x|x-3或x1.(2)f(x)=|ax+1|+|x-a|=若01,则f(x)min=f=a+2,a1.综上所述,a.5.(2018山西太原二模)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0).(1)当m=1时,解不等式f(x)3;(2)当xm,2m2时,不等式f(x)|x+1|恒成立,求实数m的取值范围.解(1)当m=1时,f(x)=|x+1|+|2x-1|=由f(x)3解得x-1或x1.(2)由题意得解得m,当xm,2m2时,不等式f(x)|x+1|等价于x+m+2x-12(x+1),x3-m,2m23-m,解得0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以(a+b)38,因此a+b2.2.(2016全国24)已知函数f(x)=,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.(1)证明f(x)=当x-时,由f(x)2得-2x-1;当-x时,f(x)2;当x时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)解由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.新题演练提能刷高分1.(2018湖南、江西十四校第一次联考)已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.(1)若不等式f(x)|m-1|有解,求实数m的最大值M;(2)在(1)的条件下,若正实数a,b满足3a2+b2=M,证明:3a+b4.(1)解若不等式f(x)|m-1|有解,只需f(x)的最大值f(x)max|m-1|即可.因为|x-1|-|x+2|(x-1)-(x+2)|=3,所以|m-1|3,解得-2m4,所以实数m的最大值M=4.(2)证明根据(1)知正实数a,b满足3a2+b2=4,由柯西不等式可知(3a2+b2)(3+1)(3a+b)2,所以,(3a+b)216,因为a,b均为正实数,所以3a+b4(当且仅当a=b=1时取“=”).2.(2018安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)=|x+2|+|2x+a|,aR.(1)当a=1时,解不等式f(x)2;(2)求证:f(x)|a-2|-|a|.(1)解当a=1时,f(x)=|x+2|+|2x+1|2x-2或-2x-1或x-x-1或x-,所以不等式的解集为.(2)证明f(x)=|x+2|+|2x+a|=|x+2|+|a-2|-=|a-2|-|a|.3.(2018吉林长春质量监测二)已知函数f(x)=|2x-3|+|3x-6|.(1)求f(x)2的解集;(2)若f(x)的最小值为T,正数a,b满足a+b=,求证:T.(1)解f(x)=|2x-3|+|3x-6|=由图象可知:f(x)2的解集为.(2)证明由图象可知f(x)的最小值为1,由均值不等式可知,当且仅当a=b时,“=”成立,即1=T.4.(2018云南昆明第二次统考)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)6;(2)若a,bR,|a|1,|b|f(a-b+1).(1)解由f(2x)+f(x+4)6得|2x-1|+|x+3|6,当x-3时,-2x+1-x-36,解得x时,2x-1+x+36,解得x.综上,不等式的解集为.(2)证明f(ab)f(a-b+1)|ab-1|a-b|,因为|a|1,|b|1,即a21,b20,所以|ab-1|2|a-b|2,即|ab-1|a