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4.3 泰勒级数,一、泰勒(Taylor)定理,则当 时，有,其中，,证明 (略),一、泰勒(Taylor)定理,而不是在整个解析区域 D 上展开？,的收敛性质的限制：,幂级数的收敛域必须,是圆域。,幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。,一、泰勒(Taylor)定理,注,(2) 展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。,方法一,一、泰勒(Taylor)定理,注,(2) 展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。,方法二,一、泰勒(Taylor)定理,注,(3) 对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，,其结果都是一样的，即具有唯一性。,方法一 利用已知的结果(4.2 ):,方法二 利用泰勒定理 :,方法三 利用长除法。,一、泰勒(Taylor)定理,注,(4) 对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数,的情况下，就知道其收敛域？,可以知道。,等于从 点到 的最近一个奇点 的距离。,在收敛圆内；,(2) 奇点 也不可能在收敛圆外，不然收敛半径,还可以扩大，,故奇点 只能在收敛圆周上。,二、将函数展开为泰勒级数的方法,1. 直接展开法,利用泰勒定理，直接计算展开系数,解,二、将函数展开为泰勒级数的方法,1. 直接展开法,利用泰勒定理，直接计算展开系数,同理可得,二、将函数展开为泰勒级数的方法,2. 间接展开法,根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、,代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。,两个重要的已知展开式,故收敛半径,(1),(2),(2),解,(1),解,(2),解,解,解,解,泰勒级数的应用举例 计算斐波拉契数列的通项,1. 斐波拉契,3. 斐波拉契数列,2. 兔子问题,一对(超级)小兔，在它们出生的第三个月开始，每月又,可生一对(超级)小兔，问 n 个月后，共可得到多少对兔子？,4. 计算斐波拉契数列的通项,令,由,有,将 代入上式并求解得,泰勒级数的应用举例 计算斐波拉契数列的通项,4. 计算斐波拉契数列的通项,(2) 泰勒级数展开,其中，,泰勒级数的应用举例 计算斐波拉契数列的通项,作圆 G ，,附：泰勒定理的证明,由柯西积分公式有,由 有,设 z 为 G 内任意一点。,附：泰勒定理的证明,证明,其中，,下面需证明,交换 次序,附：泰勒定理的证明,证明,由 在 D 内解析，
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