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文档简介

一、可分离变量的微分方程,二、齐次方程,四、变量代换法解方程,第二节 一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,一、可分离变量的微分方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式：,则称原方程为可分离变量的微分方程。,运用积分方法即可求得可分离变量方程的通解：,其中C 为积分后出现的任意常数。,例1 求微分方程,解,分离变量,两端积分,解,两边同时积分，得,故所求通解为,二、齐次方程,变量代换,代入原方程，得,形如,解,于是，原方程化为,两边积分，得,即,例4 求解微分方程,微分方程的通解为,解,例5 求解微分方程,解,微分方程的解为,三、一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程。,方程称为一阶齐次线性方程。,方程称为一阶非齐次线性方程。,习惯上，称,为方程,所对应的齐次方程。,一阶齐次线性方程的解,运用分离变量法，得,两边积分，得,故,的解存在，且唯一，其通解为,解,故该一阶齐线性方程的通解为,套公式！,解,先求此一阶齐线性方程的通解：,故该初值问题的解为,一阶非齐次线性方程的解,比较两个方程：,请问，你有什么想法？,请问，你有什么想法？,行吗 ?!,故,即,上式两边积分，求出待定函数,解,例6,第一步，求相应的齐次方程的通解,解,例6,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,解,所以，方程的通解为,套公式！,解,原方程可以改写为,这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中,故原方程的通解为,四、利用变量代换求微分方程的解,四、利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,例11 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,（一阶线性微分方程）,五、小结,1.可分离变量的微分方程:,分离变量法,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,可分离变量的微分方程解法：,3
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