2019版高考数学复习推理与证明11.1合情推理与演绎推理讲义.docx

11.1合情推理与演绎推理命题探究考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.合情推理由相关背景进行结论推测B填空题2.演绎推理相关结论的证明B填空题解答题分析解读推理与证明是新课标新增加的内容,江苏高考一般很少单独考查,但是演绎推理是解答试题必需的过程,所以仍需要认真掌握.五年高考考点一合情推理1.(2017课标全国文改编,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则以下四种说法正确的是.乙可以知道四人的成绩;丁可以知道四人的成绩;乙、丁可以知道对方的成绩;乙、丁可以知道自己的成绩.答案2.(2016山东,12,5分)观察下列等式:+=4312;+=4323;+=4334;+=4345;照此规律,+=.答案4n(n+1)3考点二演绎推理1.(2017北京理,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案Q1p22.(2013重庆理,22,12分)对正整数n,记In=1,2,n,Pn=.(1)求集合P7中元素的个数;(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.解析(1)当k=4时,中有3个数与I7中的3个数重复,因此P7中元素的个数为77-3=46.(2)先证当n15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设A,B为不相交的稀疏集,使AB=PnIn.不妨设1A,则因1+3=22,故3A,即3B.同理6A,10B,又推得15A,但1+15=42,这与A为稀疏集矛盾.再证P14符合要求.当k=1时,=I14可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A1=1,2,4,6,9,11,13,B1=3,5,7,8,10,12,14,则A1,B1为稀疏集,且A1B1=I14.当k=4时,集中除整数外剩下的数组成集12,32,52,鈥?132,可分解为下面两稀疏集的并:A2=12,52,92,112,B2=32,72,132 .当k=9时,集中除正整数外剩下的数组成集13,23,43,53,133,143,可分解为下面两稀疏集的并:A3=13,43,53,103,133,B3=23,73,83,113,143 .最后,集C=mkmI14,kI14,且k1,4,9中的数的分母均为无理数,它与P14中的任何其他数之和都不是整数,因此,令A=A1A2A3C,B=B1B2B3.则A和B是不相交的稀疏集,且AB=P14.综上,所求n的最大值为14.注:对P14的分拆方法不是唯一的.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一合情推理1.(苏教选22,二,1,5,变式)观察下列等式:1-12=12,1-12+13-14=13+14,1-12+13-14+15-16=14+15+,据此规律,第n个等式可为.答案1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n2.(苏教选22,二,1,4,变式)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n,记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2-12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.答案1 0003.(2017江苏南京溧水中学质检,11)观察下列式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,则可归纳出.答案1+122+132+1(n+1)2a2a3a40,若对任意的i,j(1ij4,且i,jN*),ai-aj仍是数列an中的某一项.现有下列命题:数列an一定是等差数列;存在1ij4,使得iai=jaj;数列an中一定存在一项为0.其中,真命题的序号有.(请将你认为正确命题的序号都写上)答案7.(2018江苏淮安、宿迁高三期中)设命题p:对任意的x,sin xax+btan x恒成立,其中a,bR.(1)若a=1,b=0,求证:命题p为真命题;(2)若命题p为真命题,求a,b的所有值.解析(1)证明:若a=1,b=0,则命题p:对任意的x,sin xxtan x恒成立.如图,设MOP=x.则sin x=|MP|,cos x=|OM|,tan x=|AT|,x=l.x时,SAOP=12|OA|MP|=12sin x,S扇形AOP=12l|OA|=12x,SAOT=12|OA|AT|=12tan x,且SAOPS扇形AOPSAOT.12sin x12x12tan x,即sin xxtan x.当x=0时,sin x=x=tan x=0,当x时,sin xxtan x恒成立.即命题p为真命题.(2)若命题p为真命题,则当x=0时,sin 0btan 0,所以b=0.此时命题p:对任意的x,sin xaxtan x恒成立.显然a0.若a0,令f(x)=ax-sin x,x,f (x)=a-cos x0恒成立,f(x)在上单调递减,f(x)f(0)=0,即axsin x,矛盾.若0a1,令f(x)=ax-sin x,x,则f (x)=a-cos x,f (x)=0在x上有唯一解,记为x0,当x0,x0)时,f (x)1,令h(x)=ax-tan x,x,则h(x)=a-1cos2x,h(x)=0在x上有唯一解,记为x1,当x0,x1)时,h(x)0,此时h(x)h(0)=0恒成立,即axtan x,矛盾.故a=1,b=0.8.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(二),20)已知数列an满足a1=1,an+1=,其中nN*,为非零常数.(1)若=3,=8,求证:an+1为等比数列,并求数列an的通项公式;(2)若数列an是公差不等于零的等差数列.求实数,的值;数列an的前n项和Sn构成数列Sn,从Sn中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问:是否存在首项为S1的四项子数列,使得该子数列中的所有项之和恰好为2 017?若存在,求出所有满足条件的四项子数列;若不存在,请说明理由.解析(1)当=3,=8时,an+1=3an2+8an+4an+2=(3an+2)(an+2)an+2=3an+2,an+1+1=3(an+1),又a1+1=2,an+1是以2为首项,3为公比的等比数列,an+1=23n-1,an=23n-1-1.(2)设数列an的公差为d(d0),则an=a1+(n-1)d=dn-d+1,由an+1=得an+1(an+2)=an2+an+4,(dn+1)(dn-d+3)=(dn-d+1)2+(dn-d+1)+4,d2n2+(4d-d2)n-d+3=d2n2+2(1-d)+dn+(1-d)2+(1-d)+4对任意nN*恒成立.解得=1,=4.由知an=2n-1,则Sn=n2.假设存在满足条件的四项子数列,由2 017为奇数,知这四项三个奇数一个偶数或者一个奇数三个偶数.若三个奇数一个偶数,设S1,S2x+1,S2y+1,S2z是满足条件的四项(x,y,zN*,xy),则1+(2x+1)2+(2y+1)2+4z2=2 017,2(x2+x+y2+y+z2)=1 007,这与1 007为奇数矛盾,不合题意,舍去.若一个奇数三个偶数,设S1,S2x,S2y,S2z是满足条件的四项(x,y,zN*且互不相等),则12+4x2+4y2+4z2=2 017,x2+y2+z2=504.由504为偶数知,x,y,z中一个偶数两个奇数或者三个偶数.(i)若x,y,z中一个偶数两个奇数,不妨设x=2x1,y=2y1+1,z=2z1+1(y1z1),则2(x12+y12+y1+z12+z1)=251,这与251为奇数矛盾.(ii)若x,y,z均为偶数,不妨设x=2x1,y=2y1,z=2z1(x1,y1,z1互不相等),则x12+y12+z12=126,继续奇偶分析知x1,y1,z1中两个奇数一个偶数,不妨设x1=2x2,y1=2y2+1,z1=2z2+1(y2z2),则x22+y22+y2+z22+z2=31.因为y2(y2+1),z2(z2+1)均为偶数,所以x2为奇数,不妨设0y2z2,当x2=1时,y22+y2+z22+z2=30,y22+y214,检验得y2=0,z2=5,x2=1,当x2=3时,y22+y2+z22+z2=22,y22+y210,检验得y2=1,z2=4,x2=3,当x2=5时,y22+y2+z22+z2=6,y22+y22,检验得y2=0,z2=2,x2=5,即S1,S4,S8,S44或者S1,S12,S24,S36或者S1,S4,S20,S40满足条件,综上所述,S1,S4,S8,S44,S1,S12,S24,S36,S1,S4,S20,S40为满足条件的四项子数列.B组20162018年模拟提升题组(满分:45分时间:25分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2017江苏赣榆高级中学月考,12)将正奇数排列成如下形式,其中aij表示第i行第j个数(iN*,jN*),例如a32=9,若aij=2 009,则i+j=.135791113151719答案602.(2017江苏扬州期中)如下是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整数,然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方,得到下一行,数表从上到下与从左到右均为无限项,则这个数表中的第13行第10个数为.12345673579111381216202420283644答案2163.(2016江苏徐州模拟)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(1)T=f(x)|xS;(2)对任意x1,x2S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2).那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是.A=N*,B=N;A=x|-1x3,B=x|x=-8或0x10;A=x|0x0,所以函数f(x)在(1,+)上是增函数.(2)f (x)=2x2+ax(x0),当x1,e时,2x2+aa+2,a+2e2.若a-2,则f (x)在1,e上非负(当且仅当a=-2,x=1时,f (x)=0),故函数f(x)在1,e上是增函数,此时f(x)min=f(1)=1.若-2e2a-2,则当x=时,f (x)=0;当1x-a2时,f (x)0,此时f(x)是减函数;当-a20,此时f(x)是增函数.故f(x)min=f-a2=a2ln-a2-a2.若a-2e2,则f (x)在1,e上非正(当且仅当a=-2e2,x=e时,f (x)=0),故函数f(x)在1,e上是减函数,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上可知,当a-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;当-2e2a-2时,f(x)的最小值为a2ln-a2-a2,相应的x值为-a2;当a-2e2时,f(x)的最小值为a+e2,相应的x值为e.(3)不等式f(x)(a+2)x可化为a(x-ln x)x2-2x.x1,e,ln x1x且等号不能同时取,所以ln x0,因而ax2-2xx-lnx(x1,e),令g(x)=x2-2xx-lnx(x1,e),则g(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2,当x1,e时,x-10,ln x1,x+2-2ln x0,从而g(x)0(当且仅当x=1时取等号),所以g(x)在1,e上为增函数,故g(x)的最小值为g(1)=-1,所以a的取值范围是-1,+).C组20162018年模拟方法题组方法1用归纳推理求解相关问题的方法1.(2017江苏新海高级中学月考,11)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),则第60个“整数对”是.答案(5,7)方法2用类比推理求解相关问题的方法2.(2016陕西汉中调研)现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为.答案a38方法3破解演绎推理思想瓶颈的技巧3.已知n为正整数,数列an满足an0,4(n+1)an2-nan+12=0.数列bn满足bn=an2tn.(1)求证:数列ann为等比数列;(2)若数列bn是等差数列,求实数t的值.解析(1)证明:由4(n+1)an2=nan+12,得an+12n+1=4an2n,结合an0,得an+1n+1=2ann,因此an+1n+1ann=2,所以ann是以a1为首项,2为