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课时分层训练(五十三)抛物线A组基础达标一、选择题1已知点A(2,3)在抛物线C:y22px(p0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()AB1CDC由已知,得准线方程为x2,所以F的坐标为(2,0)又A(2,3),所以直线AF的斜率为k.2(2016全国卷)设F为抛物线C:y24x的焦点,曲线y(k0)与C交于点P,PFx轴,则k()A.B1 C.D2Dy24x,F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P,PFx轴,P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)得k2.故选D.3(2017广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线yx2上,且与直线y30相切,则此圆恒过定点()A(0,2)B(0,3)C(0,3)D(0,6)C直线y30是抛物线x212y的准线,由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y3的距离与到焦点(0,3)的距离相等,所以此圆恒过定点(0,3)4(2018云南二检)已知点M是抛物线C:y22px(p0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为() 【导学号:79140291】A1B2C3D4D设M(x,y),则由题意,得2,2,则x4,y4.又点M在抛物线C上,所以422p,解得p4,故选D.5(2018长沙模拟(二)已知点P(x0,y0)是抛物线y24x上的一个动点,Q是圆C:(x2)2(y4)21上的一个动点,则x0|PQ|的最小值为()A21B2C3D4C设抛物线y24x的焦点F(1,0),过点P(x0,y0)作准线l:x1的垂线,垂足为N,则x0|PQ|PN|PQ|1|PF|PQ|1|CF|22523,当且仅当C,P,F三点共线且点Q在线段CF上时取等号,则x0|PQ|的最小值是3,故选C.二、填空题6(2018成都二诊)设抛物线C:y22x的焦点为F.若抛物线C上点P的横坐标为2,则|PF|_.由题意知p1,点P的横坐标xP2,则由抛物线的定义,得|PF|xP2.7(2018西宁检测(一)已知点P(2,1),若抛物线y24x的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线方程是_2xy30设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y22,且y4x1,y4x2,两式相减得2(y1y2)4(x1x2),且x1x2,则直线AB的斜率kAB2,又弦AB过点P,则所求直线方程为y12(x2),即2xy30.8抛物线y22px(p0)的焦点为F,其准线与双曲线y2x21相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p_.2y22px的准线为x.由于ABF为等边三角形因此不妨设A,B.又点A,B在双曲线y2x21,从而1,所以p2.三、解答题9.如图862所示,已知抛物线C:y24x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点图862(1)若线段AB的中点在直线y2上,求直线l的方程;(2)若线段|AB|20,求直线l的方程解(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0)因为线段AB的中点在直线y2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2),所以2y0k4.又y02,所以k1,故直线l的方程是yx1.(2)设直线l的方程为xmy1,与抛物线方程联立得消元得y24my40,所以y1y24m,y1y24,16(m21)0.|AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20,解得m2,所以直线l的方程是x2y1,即x2y10.10已知抛物线y22px(p0),过点C(2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,12.(1)求抛物线的方程;(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程. 【导学号:79140292】解(1)设l:xmy2,代入y22px中,得y22pmy4p0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y22pm,y1y24p,则x1x24,因为x1x2y1y244p12,可得p2,则抛物线的方程为y24x.(2)由(1)知y24x,p2,可知y1y24m,y1y28.设AB的中点为M,则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24.又|AB|y1y2|.由得(1m2)(16m232)(4m24)2,解得m23,m,所以直线l的方程为xy20或xy20.B组能力提升11(2018石家庄一模)已知抛物线y22px(p0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若,则实数为()A. B.C3D2D把点A代入抛物线方程,得22p,解得p2,所以抛物线的方程为y24x,则B(1,0)设M,则,.由,得解得2或1(舍去),故选D.12(2017衡水中学月考)已知直线l:ykxt与圆:x2(y1)21相切,且与抛物线C:x24y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是_(,3)(0,)因为直线l与圆相切,所以1k2t22t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x24kx4t0,于是16k216t16(t22t)16t0,解得t0或t3.13抛物线y24x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点(1)若2 ,求直线AB的斜率;(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值. 【导学号:79140293】解(1)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得y24my40.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1y24m,y1y24.因为2 ,所以y12y2.联立上述三式,消去y1,y2得m.所以
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