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文档简介
3.3.1函数的单调性与导数学习目标:1.理解函数的单调性与导数的关系(重点)2.能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间(重点)3.能根据函数的单调性求参数(难点)自 主 预 习探 新 知1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a,b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0这个说法正确吗?提示不正确,应该是f(x)0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数yf(x),在区间(a,b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)基础自测1思考辨析(1)函数f(x)在定义域上都有f(x)0,则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数值在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大()(4)在区间(a,b)内,f(x)0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)2函数yx3x的单调递增区间为()A(0,)B(,1)C(1,) D(,)Dy3x210,故选D.3若在区间(a,b)内,f(x)0,且f(a)0,则在(a,b)内有() 【导学号:97792146】Af(x)0 Bf(x)0知函数f(x)在区间(a,b)内是增函数,且f(a)0,故f(x)0.合 作 探 究攻 重 难函数的单调性与单调区间(1)函数f(x)3x22ln x的单调递减区间为_(2)设函数f(x)xaln x(aR),讨论f(x)的单调性思路探究(1)求f(x)解不等式f(x)0(2)求f(x)根据a的取值判断f(x)的正负号解析(1)函数f(x)的定义域为(0,)f(x)6x令f(x)0,即0,解得x0,故0x.即函数f(x)3x22ln x的单调递减区间为.答案(2)f(x)的定义域为(0,)f(x)1.令g(x)x2ax1,其判别式a24.当|a|2时,0,f(x)0.故f(x)在(0,)上单调递增当a0,g(x)0的两根都小于0.在(0,)上,f(x)0.故f(x)在(0,)上单调递增当a2时,0,g(x)0的两根为x1,x2.当0x0;当x1xx2时,f(x)x2时,f(x)0.故f(x)分别在,上单调递增,在上单调递减规律方法求函数yf(x)的单调区间的步骤:(1)确定函数yf(x)的定义域;(2)求导数yf(x);(3)解不等式f(x)0,函数在定义域内的解集上为增函数;(4)解不等式f(x)0,得x1,所以函数的单调递增区间为和(1,),故选A. (2)讨论函数f(x)x2aln x(aR,a0)的单调性解函数定义域为(0,),f(x)x.当a0时,f(x)x0恒成立,这时函数只有单调递增区间为(0,);当a0时,由f(x)x0,得x;由f(x)x0,得0x,所以当a0时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是(0,)综上,当a0时,单调递增区间为(0,),无单调递减区间;当a0时,单调递增区间为(,),单调递减区间为(0,)导数与函数图象的关系(1)f(x)是函数yf(x)的导函数,若yf(x)的图象如图331所示,则函数yf(x)的图象可能是()图331(2)已知函数yf(x)的图象如图332所示,则函数yf(x)的图象可能是图中的 () 【导学号:97792147】图332解析(1)由f(x)0(f(x)0且越来越大f(x)0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f(x)0且越来越小绝对值越来越大f(x)0且越来越大绝对值越来越小提醒:函数图象变化得越快,f(x)的绝对值越大,不是f(x)的值越大跟踪训练2(1)设函数f(x)在定义域内可导,yf(x)的图象如图333所示,则导函数yf(x)可能为()图333D由函数的图象知:当x0时,函数单调递增,导数应始终为正;当x0时,函数先增后减再增,导数应先正后负再正,对照选项,只有D正确(2)函数yf(x)在定义域内可导,其图象如图334,记yf(x)的导函数为yf(x),则不等式f(x)0的解集为_图334(2,3)根据导数和图象单调性的关系知当x(2,3)时f(x)0(或f(x)0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“”时f(x)是否满足题意2恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.跟踪训练3(1)若函数f(x)kxln x在区间(1,)上单调递增,则k的取值范围是_. 【导学号:97792148】1,)由于f(x)k,f(x)kxln x在区间(1,)上单调递增f(x)k0在(1,)上恒成立由于k,而00,f(x)的单调递增区间为(0,);.当a0时,f(x),当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,),f(x)0f(x)递减递增由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,);单调递增区间是(,)由g(x)x22aln x,得g(x)2x,由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数,则g(x)0在1,2上恒成立,即2x0在1,2上恒成立,即ax2在1,2上恒成立,令h(x)x2,则h(x)2x0,yxex在(0,)内为增函数2在R上可导的函数f(x)的图象如图335所示,则关于x的不等式xf(x)0时,f(x)0,此时0x1,当x0,此时x1,因此xf(x)0的解集为(,1)(0,1)3函数f(x)(x1)ex的单调递增区间是_(0,)f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex,令f(x)0,解得x0,故f(x)的增区间为(0,)4若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数,则m的取值范围是_f(x)3x22xm,由题意知f(x)在R上单调递增,412m0,m.5设f(x),其中a为正实数若f(x)为R上的单调函
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