静力学03.第三章力偶系.ppt

汇交力系,合力,平面：两正交力,空间：三正交力,一个力,刚体上的力是滑移矢量,合力,第三章 力 偶 系,作用于刚体上的一群力偶,力偶,作用在刚体上大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力系,力偶作用面,力偶的两个力所在的平面,力偶臂,二力作用线之间的距离,力偶系,通常表示为（F，F ）, 3.1 力对点之矩矢,力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变,移动效应,转动效应,可用力矢来度量,可用力对点的矩（力矩）来度量,O : 矩心,h : 力臂,一、平面中力对点之距,转动强度、转向,MO(F) = Fh,力矩的单位: Nm , kNm,力矩的特点:,(1) 矩心变化, 则MO(F)也变化,(2) F 作用线通过矩心, 则 MO(F) = 0,(3) F 沿作用线滑移, 则MO(F)保持 不变,3.1 力对点的矩矢,MO(F) = Fh,容易看出,= 2 OAB,3.1 力对点的矩矢,平面问题中，力对某点的矩是力使刚体绕过矩心 O 的轴的转动，该轴垂直矩心和力F 的作用线所在平面。 空间力系中，力 F 对刚体产生的绕某点 O 的转动效应取决于三个要素: (1)转动效应的强度 Fh； (2)转动轴的方位，即力的作用线和矩心 O 所决定的平面的法线方位； (3)转向，即: 使刚体绕轴转动的方向。,1.力对点之矩矢的概念,3.1 力对点的矩矢,二、力对点之距矢,这三个要素可以用一个矢量来表示：,力对点之矩矢，表示为MO(F)，过矩心O的定位矢量。,矢量的模等于力与力臂的乘积Fh,矢量的方位就是转轴的方位,矢量的指向根据右手规则由力F绕轴转动的方向确定。,MO(F),3.1 力对点之矩矢,2.力对点之矩矢的矢量积表达式和解析表达式,（1）力对点之矩矢的矢量积表达式,MO(F) r F,rxi+yj+zk FFxi+Fyj+Fzk MO(F)r F(yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k,（2）力对点之矩矢的解析表达式,MO(F)x= yFz-zFy MO(F)y= zFx-xFz MO(F)z= xFy-yFx,力对点之矩矢在坐标轴上的投影,| r F |rFsinaFh,3.1 力对点之矩矢,3.力对点之矩矢的基本性质,作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点 O 的转动效应可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别对该点之矩矢的矢量和。,3.1 力对点之矩矢,MO MO(F1)+ MO(F2),MO MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn),MO MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn)= MO(F),空间力系（ F1, F2 ,Fn ）对矩心O之矩矢的矢量和:,平面力系（ F1, F2 , ,Fn ）对矩心O之矩的代数和,4.合力矩定理,任意力系（ F1， F2Fn ） 合力FR对任一点之矩矢等于力系中各分力对同一点之矩矢的矢量和,3.1 力对点之矩矢,MO(FR) = MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn) = MO(F),MO（FR）= MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn) = MO(F),平面力系（ F1， F2Fn ）对力系平面上的矩心O之矩是代数量，合力矩定理可表示为：,3-2 力对轴之矩,一、力对轴之矩的概念,二、力对坐标轴之矩,三、力对点之矩与力对轴之矩的关系,3.2 力对轴之矩,一、力对轴之矩的概念,力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面交点之矩。 力对轴之矩是力对刚体产生的绕轴转动效应的度量。 力对轴之矩是代数量，正负号按右手法则确定，即拇指指向与轴正向一致为正，反之为负。 力的作用线通过某轴或与轴平行时，此力对该轴之矩为零。,一、力对轴之矩的概念,3.2 力对轴之矩,二、力对坐标轴之矩,Mz(F ),= - y Fx + x Fy,= Mz(Fx )+Mz(Fy ),Mx(F ),= - z Fy + yFz,= Mx(Fy )+Mx(Fz ),My(F ),= - x Fz + z Fx,= My(Fz )+My(Fx),因此有:,Mx(F ) = yFz - zFy My(F ) = zFx - xFz Mz(F ) = xFy - yFx,3.2 力对轴之矩,MO(F)x= yFz-zFy MO(F)y= zFx-xFz MO(F)z= xFy-yFx,Mx(F) = yFz zFy My(F) = zFx - xFz Mz(F) = xFy - yFx,力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对该轴之矩,三、力对点之矩与力对轴之矩的关系,力对点的矩,力对轴之矩,MO(F)x= Mx(F) MO(F)y= My(F) MO(F)z= Mz(F),即:,3.2 力对轴之矩,力偶矩矢 M :,力偶矩矢是力偶对刚体产生的绕任一点 O转动效应的度量，与O 点位置无关，力偶矩矢是自由矢量,M = MO(F)+MO(F) =rAF + rBF =rAF - rBF=(rA-rB)F =rBA F, 3-3 力偶矩矢,力偶矩矢 M :,Fd, 3-3 力偶矩矢,模, 3-4 力偶的等效条件和性质,两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等,一、力偶的等效条件,性质一、力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），因 此也不能与一个力平衡; 性质二、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平 行平面，而不改变对刚体的作用效果，力偶矩 矢是自由矢量; 性质三、保持力偶转向和力偶矩的大小（力与力偶臂的 乘积）不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以 改变，而不改变对刚体的作用效果。,二、力偶的性质,3.4 力偶的等效条件和性质,力偶对物体的作用效应是引起物体的转动,力偶不能合成一个力, 或用一个力来等效替换; 力偶也不能用一个力来平衡。因此, 力和力偶是静力学中两个基本要素,力偶矩:,力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和,a,b,MO(F , F) = MO(F )+MO(F),=FaOFbO,=F (aObO),=F d,3.4 力偶的等效条件和性质,因此力偶矩就是力 F 和力偶臂 d 的乘积,记为: M (F , F) 或 M,单位: Nm 或 kNm , 符号规定: 逆时针为正, 反之为负,M = F d,M 为正,M 为负,3.4 力偶的等效条件和性质,在同一平面内的两个力偶, 如果力偶矩相等, 则两个力偶彼此等效,已知 F0d0=Fd,(F2, F2)与 (F0, F0)等效,F0d0=2SABC,F2d=2SABD,CDAB,F2d = F0d0,F2=F,(F, F)与 (F2, F2)等效, (F, F)与 (F0, F0 )等效,=Fd,3.4 力偶的等效条件和性质,只要保持力偶矩的大小和转向不变,力偶的位置可在其作用面内任意移动或转动, 还可以任意改变力的大小和力臂的长短, 而不影响该力偶对刚体的效应,力偶的三要素:,力偶的大小, 力偶的转向, 力偶的作用面,因此:,3.4 力偶的等效条件和性质, 3-5 力偶系的合成,两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶力偶矩矢的矢量和，即 MRM1+M2,力偶系合成的结果为一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系力偶矩矢的矢量和，即 MRM1+M2+MnM,MRx M1x+ M2x+MnxMx MRy M1y+ M2y +MnyMy MRz M1z+ M2z +MnzMz,合力偶矩矢的大小和方向余弦分别为：,平面力偶系合成的合力偶，其力偶矩则等于力偶系 各力偶矩的代数和,即: MRM1+M2+MnM,3.5 力偶系的合成, 3-6 力偶系的平衡条件,作用在刚体上的力偶系可合成一个合力偶，力偶系作用下刚体平衡的必要充分条件是合力偶矩矢的矢量和等于零。,M = 0,Mx= 0 My= 0 Mz= 0,即:,平面力偶系平衡方程只有一个,MR M M1+M2+Mn0,M=0,即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零,平面力偶系的合成,F3 = M1 / d,F4 = M2 / d,F = F3F4,M = F d = (F3F4) d = F3 dF4 d = M1M2,设在同一平面内有两个力偶(F1,F1 )和(F2,F2 )，它们的力偶臂各为d1和d2， 力偶的矩分别为M1和M2 , 求其合成结果,3.6 力偶系的平衡条件,平面力偶系的各力偶可以合成一个合力偶, 合力偶矩等于各力偶矩的代数和,M = M1M2Mn= Mi,（二）平面力偶系的平衡条件, Mi = 0,3.6 力偶系的平衡条件,例3-1,等截面杆重量为G, 夹在两个水平的光滑的圆柱 B 和 C 之间, 其A 端搁在光滑的地面上。设AS = a, BC = b, 角 为已知, 求A、B、C 各点的约束反力。,FA,FB,FC,解:,对AC杆进行受力分析,FA = G , FB= FC,FAAS cos = FBBC,FB = FAAScos /BC,例3-2 三角形分布载荷作用在水平梁AB上，如图所示。最大载荷集度为q0，梁长l。试求该力系的合力。,在梁上距A端为x处取一微段dx，其上作用力大小为q(x) dx，其中q(x)为此处的载荷集度。由图可知，q(x)=q0x/l ，故分布载荷的合力为,解：,求合力作用线位置。设合力FR 的作用线距A端的距离为h，在微段dx上的作用力