2019版高考数学复习数列第30讲等比数列及其前n项和学案.docx

第30讲等比数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系.2016全国卷，172016湖南卷，142016四川卷，192016天津卷，51.利用公式求等比数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明等比数列2利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.分值：57分1等比数列的有关概念(1)等比数列的有关概念一般地，如果一个数列从_第2项_起，每一项与它的前一项的比等于_同一_常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_公比_，通常用字母_q_表示(2)等比中项如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么_，即_G2ab_.2等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，q0，则它的通项公式an_a1qn1_.(2)等比数列的前n项和公式等比数列的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Sn_na1_；当q1时，Sn_.3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anam_qnm_(n，mN*)(2)若为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若，(项数相同)是等比数列，则(0)，仍是等比数列(4)公比不为1的等比数列的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_.1思维辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)常数列一定是等比数列()(2)等比数列中不存在数值为0的项()(3)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列为等比数列()(4)G为a，b的等比中项G2ab.()(5)若等比数列的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn.()(6)数列的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(7)q1时，等比数列是递增数列()(8)在等比数列中，若amanapaq，则mnpq.()解析 (1)错误常数列0,0,0，不是等比数列，故错误(2)正确由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项，故正确(3)错误当q0时，an不是等比数列，故错误(4)错误当G2ab0时，G不是a，b的等比中项，故错误(5)错误等比数列的通项公式为ana1qn1，故错误(6)错误当a1时，Snn，故错误(7)错误当q1，a10时，等比数列递减，故错误(8)错误若an1，a1a3a4a51，但1345，故错误2已知数列a，a(1a)，a(1a)2，是等比数列，则实数a满足的条件是(D)Aa1Ba0或a1Ca0Da0且a1解析 由等比数列定义可知，a0且1a0，即a0且a1，故选D3设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3(C)A12B23C34D13解析 由等比数列的性质知S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.4在等比数列中，已知a11，a464，则q_4_，S4_51_.解析 a4a1q3，q364，q4，S451.5在等比数列中，若a7a125，则a8a9a10a11_25_.解析 由等比数列的性质知a8a11a9a10a7a125，a8a9a10a1125.一等比数列的基本量计算解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，的前n项和Snna1；当q1时，的前n项和Sn.【例1】 (1)已知等比数列满足a13，a1a3a521，则a3a5a7(B)A21B42C63D84(2)(2018河南开封模拟)正项等比数列中，a24，a416，则数列的前9项和等于_1_022_.(3)在数列中，a12，an12an，Sn为的前n项和若Sn126，则n_6_.解析 (1)a13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47，解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.(2)an为正项等比数列，q24，q2，a12，S921021 022.(3)a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，n6.二等比数列的性质及应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用【例2】 (1)已知等比数列满足a1，a3a54(a41)，则a2(C)A2B1CD(2)设等比数列中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9(A)ABCD(3)已知等比数列中，a4a82，则a6(a22a6a10)的值为(A)A4B6C8D9解析 (1)a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a2a1q2，故选C(2)因为a7a8a9S9S6，在等比数列中S3，S6S3，S9S6成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以有8(S9S6)1，即S9S6.(3)a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a(a4a8)2，a4a82，a6(a22a6a10)4.三等比数列的判定与证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证【例3】 数列的前n项和为Sn，Snann2n1(nN*)(1)设bnann，证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Tn.解析 (1)证明：因为anSnn2n1，所以当n1时，2a11，则a1；当n2时，an1Sn1(n1)2(n1)1，所以2anan1n1，即2(ann)an1n1.所以bnbn1(n2)又因为b1a11，所以数列bn是首项为，公比为的等比数列所以bnn.(2)由(1)，得nbn，所以Tn，2Tn1，得Tn1，即Tn2.1数列an满足：an1an1(nN*，R且0)，若数列是等比数列，则的值等于(D)A1B1CD2解析 由an1an1，得an11an2.由于数列an1是等比数列，所以1，得2.2设数列an的前n项和Sn满足Sna12an，且a1，a21，a3成等差数列，则a1a5_34_.解析 由Sna12an，得anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，所以a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n，所以a1a522534.3已知正项数列是首项为2的等比数列，且a2a324.(1)求数列的通项公式；(2)设bn，求数列的前n项和Tn.解析 (1)设正项数列an的公比为q，则2q2q224，q3(q4舍去)，an23n1.(2)bn，Tn，Tn，由，得Tn，Tn.4(2016全国卷)已知数列的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解析 (1)由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n，由S5得15，即5，解得1.易错点不知等比数列中奇数项同号、偶数项同号错因分析：等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号也都相同只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数【例1】 等比数列中，a5，a9是方程7x218x70的两个根，试求a7.解析 由韦达定理得a5a9，a5a91，a50，a90.aa5a91，且a7a5q20，a71.【跟踪训练1】 若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别为_，2,2或，2，2_.解析 设这五个数依次为a1，a2，a3，a4，a5.aa1a54，且a30，a32.又aa1a32，a2，当a2时，a42；当a2时，a42.插入的三个数依次为，2,2或，2，2.课时达标第30讲解密考纲主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及一、选择题1等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于(A)A24B0C12D24解析 由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第四项为24.2已知等比数列an的前n项和为Snx3n1，则x的值为(C)ABCD解析 当n1时，a1S1x，当n2时，anSnSn1x(3n13n2)2x3n2，因为an是等比数列，所以a1，由得x，解得x.3(2018云南昆明模拟)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5(B)A2BCD解析 根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a50，a140，a4a148，a70，a110，则2a7a112228，当且仅当即a72，a114时取等号，故2a7a11的最小值为8，故选B二、填空题7在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_4_.解析 设公比为q，则由a8a62a4，得a1q7a1q52a1q3，q4q220，解得q22(q21舍去)，所以a6a2q44.8等比数列的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_5_.解析 由等比数列的性质可知a1a5a2a4a，于是由a1a54得a32，故a1a2a3a4a532，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2325.9(2018江苏徐州模拟)若等比数列an满足：a2a420，a3a540，则公比q_2_；前n项和Sn_2n12_.解析 由a2a420，a3a540，得即解得q2，a12，所以Sn2n12.三、解答题10已知递增的等比数列an的前n项和为Sn，a664，且a4，a5的等差中项为3a3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)设等比数列an的公比为q(q0)，由题意，得解得或(舍去)，所以an2n.(2)因为bn，所以Tn，Tn，所以Tn，故Tn.11(2018天津模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，若S1 ,2S2,3S3成等差数列，且S4.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：Sn.解析 (1)设等比数列an的公比为q，因为S1,2S2,3S3成等差数列，所以4S2S13S3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)，所以a23a3，所以q.又S4，即，解得a11，所以ann1.(2)证明：由(1)得Sn.因为nN*，所以0n1，所以01n1，所以Sn.12(2018湖北华师一附中期中)已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且a1b12，b454，a1a2a3b2b3.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)数列cn满足cnanbn，求数列cn的前n项和Sn.解析 (1)设