2019届高考数学复习第十三章系列4选讲13.2不等式选讲学案文北师大版.docx

13.2不等式选讲最新考纲考情考向分析1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，bR)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想2含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立3不等式证明的方法(1)比较法作差比较法知道abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法作商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法(2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫作综合法，即“由因导果”的方法(3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫作分析法，即“执果索因”的方法题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|b0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()题组二教材改编2不等式3|52x|9的解集为()A2,1)4,7) B(2,1(4,7C(2，14,7) D(2,14,7)答案D解析由题意得即解得不等式的解集为(2,1 4,7)3求不等式|x1|x5|2的解集解当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1；当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4；当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为(，4)题组三易错自纠4若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k .答案2解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.5已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为 答案9解析把abc1代入到中，得332229，当且仅当abc时，等号成立6若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 答案解析设y|2x1|x2|当x5；当2x，y5；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故实数a的取值范围为.题型一绝对值不等式的解法1(2017全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而11.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)方法一当a2时，由题意知|x2|x4|4，利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4，又2和4之间的距离为2，即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上故不等式的解集为x|x1或x5方法二当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.故原不等式的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以解得a3.思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解题型二利用绝对值不等式求最值典例 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，当且仅当0x1时等号成立，|y1|y1|(y1)(y1)|2，当且仅当1y1时等号成立，|x1|x|y1|y1|123.当且仅当0x1，1y1同时成立时等号成立|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法跟踪训练 (2017镇江模拟)已知a和b是任意非零实数(1)求的最小值；(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围解(1)4，当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成立，的最小值为4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2,2题型三绝对值不等式的综合应用典例 已知函数f(x)|x2|x2|m(mR)(1)若m1，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x)x有三个实根，求实数m的取值范围解(1)当m1时，f(x)|x2|x2|1，当x2时，f(x)3，不满足题意；当2x2时，f(x)2x1，由f(x)0，可解得x，于是x0恒成立，不等式f(x)0的解集为.(2)由方程f(x)x可变形为mx|x2|x2|.令h(x)x|x2|x2|作出图像如图所示，数形结合，可得2my，求证：2x2y3；(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立，所以原不等式成立思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野跟踪训练 (2017全国)已知a0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.1解不等式|x1|x2|5.解方法一如图，设数轴上与2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数显然，区间2,1不是不等式的解集把点A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|A1B|145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|B1B|5，故原不等式的解集为(，32，)方法二由原不等式|x1|x2|5，可得或或解得x2或x3，原不等式的解集为(，32，)方法三将原不等式转化为|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，则f(x)作出函数的图像，如图所示由图像可知，当x(，32，)时，y0，原不等式的解集为(，32，)2不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立，求实数a的取值范围解由绝对值的几何意义知，|x4|x5|9，则log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立，则需a0)(1)当a4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围解(1)当a4时，不等式为|2x1|x1|2.当x时，x22，解得4x1时，x0，此时x不存在，原不等式的解集为.(2)令f(x)|2x1|x1|，则f(x)故f(x)，即f(x)的最小值为.若f(x)log2a有解，则log2a，解得a，即a的取值范围是.6已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解当a3时，f(x)|x3|x2|当x2时，由f(x)3，得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3，得2x53，解得x4，所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)由f(x)|x4|，得|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|，得4x(2x)|xa|，即2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,07(2017哈尔滨三中检测)已知a，b，c为正实数，且abc2.(1)求证：abbcac；(2)若a，b，c都小于1，求a2b2c2的取值范围(1)证明abc2，a2b2c22ab2bc2ca4，2a22b22c24ab4bc4ca8，82a22b22c24ab4bc4ca6ab6bc6ac，当且仅当abc时取等号，abbcac.(2)解由题意可知，a2b2c22ab2bc2ca4，4a2b2c2a2b2b2c2a2c23(a2b2c2)，当且仅当abc时取等号，a2b2c2.0aa2.同理bb2，cc2.a2b2c2abc2，a2b2c22，a2b2c2的取值范围为.8已知函数f(x)m|x1|x2|，mR，且f(x1)0的解集为0,1(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，zR，且x2y2z2a2b2c2m，求证：axbycz1.(1)解由f(x1)0，得|x|x1|m.|x|x1|1恒成立，若m1，当x0时，x1时，得2x1m,1x.综上可知，不等式|x|x1|m的解集为.由题意知，原不等式的解集为0,10，1，解得m1.m1.(2)证明x2a22ax，y2b22by，z2c22cz，当且仅当xa，yb，zc时等号成立三式相加，得x2y2z2a2b2c22ax2by2cz.由题设及(1)，知x2y2z2a2b2c2m1，22(axbycz)，axbycz1，不等式得证9(2017银川模拟)已知函数f(x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)当a1时，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在x0R，使得f(x0)g(x0)，求实数a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)，即|x1|2|x|1，从而即x1，或即1x，或即x2.从而不等式f(x)g(x)的解集为.(2)存在x0R，使得f(x0)g(x0)，即存在x0R，使得|x01|x0|，即存在x0R，使得|x01|x0|.设h(x)|x1|x|则h(x)的最大值为1，所以1，即a2.所以实数a的取值范围为(，210(20