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文档简介

,第十一章,山东交通学院高等数学教研室,第四节 对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与 性质,二、对面积的曲面积分的计算法,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄片质量的思想, 采用,可得,求质,“分割，近似，求和，取极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,一、对面积的曲面积分的概念与性质,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,表曲面面积,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似,积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,准备工作：,做出积分曲面,求出,方程，分别求,并求出,求出,在 xoy 面的投影,转化为,例1. 计算曲面积分,其中 是球面,被平面,截出的顶部.,解:,例2. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,例3. 计算,其中 是,所围区域的边界,解：,原式,例4. 计算,其中 是,解：,原式,对称性,曲面,关于 yoz 面对称，,是,部分,的,若,则,若,则,说明:,可有类似的公式,如果曲面方程为,例5. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,解：,则原式,利用曲面积分求质心坐标，转动惯量,设曲面,面密度,则质量,质心坐标,转动惯量,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),思考与练习,P158 题1；3；4 (1) ; 7,解答提示:,P158 题1.,P158 题3.,设,则,P184 题2,P158 题4 (1)., 在 xOy 面上的投影域为,这是 的面积 !,P159 题7.,如图所示, 有,P184 题2.,限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),备用题 1. 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的,的面密度,质量
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