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第五节 对面积的曲面积分,二、对面积曲面积分的计算法,一、曲面面积,（第十章 第四节）,G 表示的几种几何形体以及其上的积分：,二重积分,三重积分,对弧长的曲线积分,对面积的曲面积分,几何形体上的积分,重积分,对弧长的（第一类）曲线积分,对面积的（第一类）曲面积分,当几何形体G为一光滑曲面 时,相应的积分,对面积的曲面积分(或第一类曲面积分),若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分,记为,计算对面积的曲面积分,化为二重积分,？,曲面面积元素,对应的投影区域为,一、曲面的面积,曲面块,切平面块,当 很小时，,则有,的面积元素：,切平(曲)面的法向量,的面积元素：,曲面 的面积公式为：,计算对面积的曲面积分,化为二重积分,？,曲面积分元素为,对面积的曲面积分的计算公式为,化为二重积分,如果曲面 的方程由 x=x(y,z) 或 y=y(x,z) 给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为yoz面或xoz面上的二重积分。,例1,被平面 截出的顶部.,曲面面积元素,它在xoy面上的投影区域,解,例2,解 边界曲面 由四块组成：,它们的表达式分别是,于是,由于在,所以,围成的三角形.,又 在xoy面上的投影区域,是由,例3 计算 ，其中 为圆柱面 介于平面 z =0 和 z =H(H0),这样就需投影到yoz面上，,解 由于 不能表示成 z=z(x,y) 的形式,且在第一卦限的部分.,现写成,投影区域 为矩形:,又,有,于是,而,所以,瑕积分,小 结,计算对面积的曲面积分,化为二重积分,1.把积分曲面 代入被积函数；,2.根据积分曲面 的不同的表示形式， 求出曲面面积元素.,3. 将 向相应的坐标面投影，得到二重 积分的积分区域.,作 业
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