2018版高中数学 圆与方程章末复习课学案新人教A版.docx

第四章 圆与方程章末复习课1.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2y2r2.圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上若点的坐标满足F(x，y)0，则该点在圆外；若满足F(x，y)0)的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0，是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20的交点的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.方法一函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a，b，r(或D，E，F).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程.【例1】 求圆心在圆y22上，且与x轴和直线x都相切的圆的方程.解设圆心坐标为(a，b)，半径为r，因为圆y22在直线x的右侧，且所求的圆与x轴和直线x都相切，所以a.所以ra，r|b|.又圆心(a，b)在圆y22上，所以b22，联立解得所以所求圆的方程是(y1)21，或(y1)21.【训练1】 已知圆经过点A(2，1)，圆心在直线2xy0上且与直线xy10相切，求圆的方程.解法一设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，其圆心为.圆过点A(2，1)，52DEF0，又圆心在直线2xy0上，20，即2DE0.将yx1代入圆方程得2x2(DE2)x(1EF)0.(DE2)28(1EF)0.将代入中，得(D2)28(12D5)0，即D220D360，D2或D18.代入，得或故所求圆的方程为x2y22x4y30或x2y218x36y670.法二设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0).圆心在直线y2x上，b2a，即圆心为(a，2a).又圆与直线xy10相切，且过点(2，1)，r，(2a)2(12a)2r2，即(3a1)22(2a)22(12a)2，解得a1或a9.a1，b2，r或a9，b18，r13，故所求圆的方程为：(x1)2(y2)22，或(x9)2(y18)2338.方法二数形结合思想数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.【例2】 已知圆C：(x2)2y21，P(x，y)为圆C上任一点.(1)求的最大值与最小值；(2)求x2y的最大值与最小值.解(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率.令k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率.对上式整理得kxyk20，1，k.故的最大值是，最小值是.(2)令ux2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.依题意，得1，解得u2，故x2y的最大值是2，最小值是2.【训练2】 当曲线y1与直线yk(x2)4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()A. B.C. D.解析曲线y1是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线yk(x2)4是过定点(2，4)的直线.设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为yk0(x2)4，圆心(0，1)到直线PC的距离等于半径2，即2，k0.直线PA的斜率为k1.所以，实数k的取值范围是k.答案C方法三分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.【例3】 已知直线l经过点P(4，3)，且被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为8，求直线l的方程.解圆(x1)2(y2)225的圆心为(1，2)，半径r5.当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x4，由题意可知直线x4符合题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为y3k(x4)，即kxy4k30.由题意可知52，解得k，即所求直线方程为4x3y250.综上所述，满足题设的l方程为x4或4x3y250.【训练3】 如图，已知以点A(1，2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切.过点B(2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|2时，求直线l的方程.解(1)设圆A的半径为r.由于圆A与直线l1：x2y70相切，r2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接AQ，则AQMN.|MN|2，|AQ|1，则由|AQ|1，得k.直线方程为3x4y60.综上，直线l的方程为x2或3x4y60.1(2016北京高考)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A1 B2 C. D2解析圆(x1)2y22的圆心坐标为(1，0)，由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.答案C2.(2015安徽高考)直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A.2或12 B.2或12C.2或12 D.2或12解析圆方程可化为(x1)2(y1)21，该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，直线3x4yb与该圆相切，1.解得b2或b12，故选D.答案D3.(2015北京高考)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A.(x1)2(y1)21B.(x1)2(y1)21C.(x1)2(y1)22D.(x1)2(y1)22解析圆的半径r，圆的方程为(x1)2(y1)22.答案D4.(2015全国)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B. C. D.解析由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x1，由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y，联立，解得ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为 .故选B.答案B5.(2014浙江高考)已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.2 B.4 C.6 D.8解析圆的标准方程为(x1)2(y1)22a圆心坐标(1，1)半径r22a，圆心到直线xy20的距离d22()22a，解得a4.答案B6(2016全国)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析圆C：x2y22ay20即C：x2(ya)2a22，圆心为C(0，a)C到直线yx2a的距离为d.又由|AB|2，得a22，解得a22，所以圆的面积为(a22)4.答案47(2016全国)已知直线l：xy60与圆x2y212交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|_解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y23y60，则y1y23，又y22，y1，A(3，)，B(0，2)过A，B作l的垂线方程分别为y(x3)，y2x，令y0，则xC2，xD2，|CD|2(2)4.答案48.(2015重庆高考)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_.解析点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x2y25，设所求直线为y2k(x1)，即kxyk20，圆心到直线的距离d，解得k，