方向导数与梯度98极值与最值.ppt

1. 空间曲线的切线与法平面,1) 参数式情况.,空间光滑曲线,在对应t=t0处的切向量,9.6 偏导数的几何应用-内容回顾,空间光滑曲线,2) 一般式情况.,在点M处的切向量,空间光滑曲面,在点,1) 隐式情况 .,处的法向量,2. 曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,2) 显式情况.,法向量,或,向上的方向,向下的方向,曲面 在点 P0 处的法向量,法线方程,切平面方程,第九章,一、方向导数定义及计算,二、梯度的概念,9.7 方向导数与梯度,三、方向导数与梯度的关系,基本要求：会求方向导数和梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,对于二元函数f(x,y),在点P(x,y)处沿方向l,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,(方向角, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,偏导数存在保证沿坐标轴的方向导数存在,反之不真.,在点(0,0)处沿x轴正向的方向导数,(不存在).,沿x轴反向的方向导数为-1.,但不能保证其他方向的方向导数存在!,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,例2. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,二、梯度,向量,同样可定义二元函数及一般多元函数梯度的概念.,称为三元函数u=f(x,y,z),在点(x,y,z)处的梯度.,记为:gradf (x,y,z)或gradf,在点(x0,y0,z0)处的梯度.,记为:gradf (x0,y0,z0),即以函数的偏导数为分量的向量称为梯度,二元函数的梯度,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,记与 同向的单位向量为,三、方向导数与梯度的关系,(为的夹角),梯度的基本运算公式,由梯度的计算公式不难验证以上公式,P51 9 (1)(2),不妨设u,v为可微的二元函数,记公式按微分 符号理解,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,称为函数 f 的等值线 .,则L*上点P 处的法向量为,同样, 对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,指向函数增大的方向.,3*. 梯度的几何意义,4*、物理意义,函数,数量场 (数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,( 势 ),如: 温度场, 电位场等,如: 力场,速度场等,(向量场),注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,沿坐标轴的方向导数存在,例3.,函数,在点,处的梯度,解:,(92考研),指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,例4. 函数,解:,则,(96考研),=,第九章,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,9.8 多元函数的极值及其求法,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某去心邻域内有,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明 (略) .,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,注意:判别式是,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,驻点为:(1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 列表考查,的极值.,=0,=0,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,作业 5-