北京工业大学线性代数第六章第五节标准形第六节唯一性.ppt

1,第五节 标准形,一二次型的标准形 二化二次型为标准形的方法,2,一二次型的标准形,只含平方项的二次型，称为标准形.,如,标准形的矩阵是一个对角阵，且主对角,定义：,说明:,元素是其平方项的系数。,3,数域P上任意一个二次型都可以经过,可逆线性替换化成标准形.,数域P上任意一个对称矩阵都合同于一,个对角阵,定理：,推论：,问题：由定理可知，将一个二次型化为标准,形，关键是要找到可逆替换，如何找?,如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则,称这个对角阵是A的合同标准形,定义：,4,二化二次型为标准形的方法, 二次型 含有变量的平方项,例1 用配方法化二次型,为标准形，并求出可逆线性替换,(P193-例6.5.1),1配方法,5,解：,用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方,的形式：,6,则有,所作的可逆替换是,7,例2 用配方法化二次型,为标准形，并求出可逆替换,(P194-例6.5.2),解：,为了能够配方, 首先要变成有平方项.为此令, 二次型不含变量的平方项,则,8,(按例1的方法),9,则,为了写出所作可逆替换,先从式解出,把式带入式得所作可逆替换:,10,设,设存在初等矩阵P1, P2, , Pt, 使得,则,2初等变换法,经过可逆替换,X=CY 化成标准形YTDY,其中D是对角阵. 则,初等矩阵有三种类型 P(j,i(k), P(i,j), P(i(c),11,因此,即,它们的转置矩阵分别为,像这种初等行、列变换类型相同，称为成对初等行、列变换。,12,对于,即,同样地，对于,即,13,设,对E 只作初等列变换,其中 D 是对角阵，即当A 变成对角阵时E就变成了可逆矩阵C. 且CT AC=D。,由以上讨论，我们得到求二次型标准形的另一种方法：,14,例3 用初等变换法化二次型,(P196-例6.5.3),为标准形，并求出可逆替换,解：,的矩阵为,15,16,17,18,19,则可逆替换为,得,20,化成标准形,则,(1) 同一个二次型其标准形不唯一.,(2)不同标准形中系数不为0的平方项的个数相同。,设二次型XTAX经过非退化线性替换X=CY,比较例2和例3的结果可看出：,因为同一个二次型, 用不同的线性替换, 可 以得到不同的标准形.,21,系数不为0的平方项的个数r 等于它的矩阵 A,因此R(A)=r. 这表明二次型XTAX 的标准形中,的秩（即二次型的秩），因而是唯一的。,22,问题:,由例2和例3的结果可看出，同一个二次型,的标准形中系数不为0的平方项的个数相同，且,系数为正的平方项的个数也相同. 前者对于任意,数域P上的二次型都成立，后者是否也成立？,我们将证明后者对于实数域上的二次型是,成立的。,23,第六节 唯一性,一. 实规范形,n元实二次型 XTAX 经过一个适当的可逆线性替换X=CY, 可以化成下述形式的标准形 d1y12 + d2y22 + + dpyp2 dp+1yp+12 - -dr yr2（1） 其中di0(i=1,2, ,r);且r是这个二次型的秩，因为正实数总可以开平方，所以可以再作一个可逆线性替换：,24,则二次型（1）可以变成如下形式的标准形 z12 + z22 + + zp2 - zp+12 - - zp+q2 称为XTAX的实规范形.,实规范型的特征：,只含平方项，且平方项的系数为1、-1,或0；系数为1的平方项都写在前面。,25,例1 用初等变换法化二次型,(P196-例6.5.3),为规范形，并求出可逆替换,解：,用初等变换法经可逆替换,26,得标准形,得规范形,再作线性替换,问题：,实二次型的规范形是不是唯一呢？,27,二. 唯一性的几个结论,惯性定理:,实二次型的规范形是唯一的.,定义:,实二次型 XTAX 的规范形中,正平方项的个数 p 称为XTAX的正惯性指数, 负平方项的个数 r-p 称为负惯性指数, 正、负惯性指数之差 2p-r 称为 XTAX 的符号差.,任意实规范形中系数不为0的平方项的个数等于二次型的秩，故实二次型的规范形被它的秩和正惯性指数决定。,注：,28,实二次型 XTAX 的任一标准形中，系数为正的平方项个数是唯一确定的, 且等于XTAX的正惯性指数. 系数为负的平方项个数也唯一确定且等于 XTAX的负惯性指数,推论1,所以， n 阶实对称矩阵A 的合同标准形中，主对角元素为正(负)数的个数等于A的正(负)惯性指数。,29,任意一个实对称矩阵 A 都合同于一个主对角元只有1,-1,0的对角阵.其中1,-1的个数共有 R(A) 个，1的个数等于XTAX 的正惯性指数, -1的个数等于XTAX 的负惯性指数.这个对角阵成为A的