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第四节 多元复合函数求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分 形式不变性,一、链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算,一元:,链式法则,证,t0 时, 取“”号,故可微，即,有连续偏导数，,例1 设 而,其中 可导，求,解,1.上定理的结论可推广到,以上公式中的导数 称为全导数.,推广,中间变量多于两个的情况:,在对应点 的两个,偏导数存在,且可用下列公式计算:,具有对x和y的偏导数，,且函数,则复合函数,2.上定理还可推广到 中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,复合结构如图示,链式法则的规律：,“连线相乘，分线相加”,解,例2,在对应点,的两个偏导数存在，且可用下列公式计算,链式法则的规律：,“连线相乘，分线相加”,设,即,其中,两者的区别,区别类似,3.中间变量 既有一元函数,也有多元函数的情况：,解,例3,解,令,记,例4,于是,例5 设,二阶偏导数连续,求下列,表达式在极坐标系下的形式,解,则,已知,于是,复合函数,(当 在二、三象限时, ),(1),利用已有公式,同理可得,全微分形式不变性的实质： 无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的.,二、全微分形式不变性,例5 设 而,求,解,比较,1、链式法则（连线相乘，分线相加）,2、全微分形式不变性,（特别注意特殊情况： 函数的复合结构的层次）,小 结,思考题,设,，而,试问,与,是否相同？为什么？,等式左端的z是作为一个自变量x的函数，,写出来为,不相同.,作 业,p.30 习题8
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