阶跃响应、冲激响应.ppt

第9章 阶跃响应、冲激响应 和卷积积分的应用,9.1 阶跃函数和冲激函数,本章重点,9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应卷积积分,9.5 电容电压和电感电流的跃变,9.2 阶跃响应,9.3 冲激响应, 阶跃响应和冲激响应, 本章重点, 阶跃函数和冲激函数, 卷积积分,返回目录, 电容电压和电感电流的跃变,9.1 阶跃函数和冲激函数,一、单位阶跃函数（unit step function）,1. 定义,2. 延迟的单位阶跃函数,3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号,解,所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。,例1,试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。,解 f(t) 分成两段表示。,(0 t 1),(1 t),则,二、单位冲激函数（unit pulse function）,1. 单位脉冲函数,减小，脉冲变窄，面积不变。,2. 单位冲激函数的定义,符号,k(t),脉冲强度为k的冲激函数,解,当 0，,uC U(t),iC CU(t),q不变。,则 i= CUS(t),t = 0时合S,= US,3. 延迟单位冲激函数 (t-t0),4. 函数的筛分性质,同理有,f(0)(t),条件：f(t)在 t0 处连续。,设函数 f(t) 在 t = 0 处连续，则,三、 (t) 和(t)的关系,= (t),返回目录,阶跃响应（step response）：阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应。,9.2 阶跃响应,单位阶跃响应（unit step response）：单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应。,阶跃响应的求解：阶跃激励在某一特定时刻（例如作用于零初始储能的电路，相当于从这一时刻开始，有一直流电压源（或电流源）作用于该电路。求解该电路相当于求直流激励作用下的零状态响应。,一、一阶电路的阶跃响应,以下图RC电路为例。t0时，可用三要素法得到其解。,若激励在 t = t0 时加入， 则响应从 t = t0开始。,解,由叠加定理有,由线性、齐次和时不变性质，得,分段表示为,也可用时间分段形式表示,二、二阶电路的阶跃响应,已知 uC(0-)=0 ， i (0-)=0,以uC为变量微分方程为,以RLC串联电路为例讨论。,二阶常系数非齐次微分方程。,上述微分方程等价于：,特征根为,按特征根的不同情况，通解（自由分量）有三种不 同形式，uC解答可表示为,过阻尼情况,临界阻尼情况,欠阻尼情况,返回目录,9.3 冲激响应,冲激响应（impulse response）：电路在冲激激励作用下的的零状态响应。,方法一 ： 分两个时间段来考虑,（1） t 在 0- 0+；（2） t 0+。,分析冲激响应时，时间范围为 0 到 t 。,（1） t 在 0- 0+ 间,（2） t 0+ 零输入响应。,例1,已知：,求： iS(t)为单位冲激时电路的响应uC(t)和 iC (t)。,定性分析,uC(0)=0，电容相当于短路,（2） t 0+ RC放电,（1） t 在 0- 0+ 间,解,uC不是冲激，仅是有限的跳变。,冲激响应为,（1） t 在 0- 0+间,定性分析,解,i不是冲激， 仅是有限的跳变,（2） t 0+ RL放电,冲激响应为,（1） t 在 0- 0+间,（2） t 0+ RC放电,解,电容短路,方法二: 利用阶跃响应求冲激响应。,求冲激响应。,已知单位阶跃响应,解,返回目录,9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应 卷积积分,一、卷积积分（convolution）定义,设 f1(t) , f2(t)在 t 0时均为零,性质1,应用：求任意波形激励下的零状态响应。,证明,令 = t - ：0 t : t 0,性质2,= f ( t ),二、卷积积分的物理解释,第1个矩形脉冲,若单位脉冲函数 p ( t ) 的响应为 h p ( t ),第k个矩形脉冲,激励,响应,响应,激励,卷积积分-叠加积分,三、卷积积分的图解说明,卷,移,乘,积,由图解过程确定积分上下限,法二,法一,解 先求该电路的冲激响应 h(t),uC()=0,例1.,已知：R=500 k , C=1 F , uC(0)=0,求： uC(t)。,四、应用举例,再由卷积积分计算当 iS=2et (t) mA 时的响应 uC ( t ):,r(t)=iS*h(t)=h(t)*iS 此卷积积分需分段进行,0 t 2,2 t 3,3 t 5,t 5,r(t)=0,返回目录,9.5 电容电压和电感电流的跃变,在换路瞬间，若电容中流过冲激电流时，电容电压可能发生跃变，此时电容的瞬时充电（或放电）功率为无穷大。,在换路瞬间，若电感两端出现冲激电压时，电感中的电流可能发生跃变，此时电感的瞬时充电（或放电）功率为无穷大。,一、电容电压的跃变,例1,理想电压源瞬间加在纯电容C两端。,则电容电压可以表示为,电容中电流为,例2 电路如图所示。,以uC1为变量，可列些出方程如下：,由上述方程可知，电容电压uC1应为有限值。再根据KVL， uC2也应为有限值。,节点A的KCL方程：,在0-0区间对上式积分，并整理得,式(1)表明节点A满足电荷守恒。其中uC1(0+)、 uC2(0+)待求。,再根据KVL，有,当uC1(0)0、 uC2(0)0时，联立求解式（1）和式（2）可求得,由此可用三要素法得到此一阶电路的解：,其时间常数为,换路后达稳态时有,所以电容电压分别为,对电容电压的全时间域表达式求导，可得电容电流为,小结：, 一般情况下，当换路后电路中出现由理想电压源和电容（或全部由电容）构成的回路时，则电容电压可能发生跃变。 分析方法是：首先根据KVL，列写换路后瞬间电容电压与电压源电压的约束方程；然后再根据节点电荷守恒写出有关电压的方程；最后根据上述所列方程便可求出待求电压的值，从而可知电容电压是否跃变。,二、电感电流的跃变,电感电流可能发生跃变的情况，与电容的情况是对偶的。 结论如下：, 一般情况下，当换路后电路中出现由理想电流源和电感（或全部由电感）构成的割集时，则电感电流可能发生跃变。 分析方法是：首先根据KCL，列写换路后瞬间电感电流与电流源电流的约束方程；然后再根据回路磁链守恒写出有关电流的方程；最