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第六章 曲线和曲面 6-1 曲线 6-2 曲面的形成 6-3 回转面 6-4 非回转直纹曲面 6-5 平螺旋面,6-1 曲线,曲线的投影特性 曲线由点运动而形成，分为平面曲线和空间曲线两大类。凡曲线上所有点都在同一平面上的，称为平面曲线。凡曲线上四个连续的点不在同一平面上的，称为空间曲线。 曲线的割线和切线 与曲线相交于两个点的直线，称为曲线的割线。如图所示，割线 CD 与曲线 AB 相交于 K、G 两点。进行投射时，割线的投影 cd 必与曲线的投影 ab 交于 K、G 两点的投影 k 和 g。当割线 CD 绕其中一交点 K 转动并始终与曲线 AB 接触时，另一交点 G 便沿着曲线经 G 逐 渐接近点 K ，最后与点 K 重合。此时割线 CD 变为切线EF ，与曲线 AB 相切于点 K 。 它们的投影也从割线 cd 变为切线 ef ，与 ab 相切于点 k 。 曲线的交点和重影点 曲线本身、或曲线与直线、或两曲线在 某一点处相交，其投影也在该交点的投影处 相交。,6-1 曲线,圆柱螺旋线 当一个动点 M 沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线 O 等速旋转，动点的轨迹是一根圆柱螺旋线。直线旋转时形成一个圆柱面，圆柱螺旋线是该圆柱面上的一根空间曲线。当直线旋转一周，回到原来位置时，动点 M 移到 位置 M1，在该直线上移动的距离 MM1，称为螺旋线的导程，以 Ph 标记。只要给出圆柱的直径 、螺旋线的导程 Ph 以及动点移动的方向，就能确定该圆柱螺旋线的形状。,6-2 曲面的形成,圆柱面的形成,圆锥面的形成,球面的形成,曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动而形成。这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。由于母线的不同，或者约束条件的不同，形成不同的曲面。只要给出曲面的母线和母线运动的约束条件，就可以确定该曲面。,6-3 回转面,某由直母线或曲母线绕一轴线旋转而形成的曲面，称为回转面。,圆柱面,例【教材例6-2】 给出圆柱面上点 A 的 V 投影 a，求作它的其余两投影。,2,利用投影的积聚性作图,圆锥面,例【教材例6-3】 给出圆锥面上点 A 的V 投影a，求作它的其余两投影（素线法）；给出圆锥面上点 N 的V 投影n（纬圆法），求作它的其余两投影。,N ,s,如何在圆锥面上作直线？,过锥顶作一条素线。,圆的半径？,b,b,b,d,d,球面,【例】 给出球面上点K 的V 投影 k，求作它的其余两投影。,圆的半径？,环面,环的形成,环的投影,圆母线绕与它共面但不通过圆心的直线旋转形成环面。当环面的轴线垂直于H 面时，它的H 投影是两个同心圆，分别是环面的赤道圆和颈圆的H 投影。环面的V投影和W 投影，都是由两个圆和与它们上下相切的两段水平轮廓线组成。V 投影的两个圆分别是环面最左素线圆和最右素线圆的V 投影，W 投影的两个圆分别是最前素线圆和最后素线圆的W 投影，它们都反映素线圆的实形，都有半个圆因被环面遮挡而画成虚线。当轴线垂直于一投影面时，在环面上定点，可采用纬圆法。,环面应用实例,单叶双曲回转面,单叶双曲回转面应用实例,6-4 非回转直纹曲面,锥面,直母线 M 沿着一曲导线L 移动， 并始终通过一定点S 而形成锥面。 定点S 称为锥顶。曲导线L 可以是平面曲线或空间曲线；可以是闭合的，也可以不闭合的。锥面相邻两素线是相交直线。,柱面,直母线M 沿着曲导线L 移动，并始终平行于一直导线K 而形成柱面。柱面相邻两素线是平行直线。画柱面的投影图时，必须画出曲导线L，直导线K 和一系列素线的投影。,双曲抛物面,由直母线沿着两交叉直导线移动，并始终平行于一个导平面而形成双曲抛物面。图示的双曲抛物面，直母线是BD，交叉直导线是AB 和CD。所有素线都平行于铅垂导平面P。双曲抛物面的相邻两素线是交叉直线。,双曲抛物面的截交线,当两方向的导平面都垂直于H 面时，双曲抛物面被正平面和侧平面截切，交线是抛物线，过中心点O 的正平面和侧平面的交线，分别投射成V 投影和W 投影的抛物线轮廓线。双曲抛物面被水平面截切，交线是双曲线，水平面通过曲面的中心O，交线蜕变成两相交直线，成为两族双曲线的渐近线。,双曲抛物面应用实例,锥状面,直母线沿着一根直导线和一根曲导线移动，并始终平行于一个导平面而形成锥状面。 锥状面的直母线AC 沿着直导线CD 和曲导线AB 移动，并始终平行于铅垂的导