统计学9.普通相关分析.ppt

,第九章 普通相关分析,变量之间的相关关系有两种： 确定性的关系 不确定性的关系,相关分析是研究变量之间不确定关系的统计方法。最为常见的是两个或多个随机变量之间的线性相关关系。 也是本章研究的主要内容。,定义: X , Y 是随机变量, 已知二维( X, Y ) 分布, 总体相关系数,1. 两个随机变量的总体 (简单) 相关系数,一.两个随机变量的总体相关与样本相关,相关系数 XY-1, 1, 若XY = 0, 则称 X 与 Y 不相关. 若 X 与Y 相互独立, 则必然不相关, 即 XY = 0 . 反之, 不相关, 不一定独立. 但对两个正态分布, 不相关 独立.,2. 样本相关,定义: ( X1, Y1 ) , ( Xn, Yn )是 ( X, Y ) 的 一组样本( 样本 X, Y 是配对的, 不可独自交换顺序 ), 则样本相关系数:,注意: 小写的 xi 是大写 Xi 的中心化结果, 即 xi = Xi X . 对yi 同理.,这种相关关系, 又称 Pearson积矩相关.,相关系数计算,【例】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到19811993年的样本数据(xi ，yi)，i =1,2,，13，数据见表10-1，计算相关系数。,计算结果,解：根据样本相关系数的计算公式有 人均国民收入与人均消费金额之间的相关系 数为 0.9987,3 样本相关系数的几何解释,x,y,|y| = y12 + yn2 , 表示向量 y =(y1, yn) T的模长.,4 . 直观散点图,设有配对样本观测值: x1, xn与 y1, yn , 则其直观散点图如图:,该散点图, 反映出x, y 之间的正相关关系.,1. 两组配对的顺序数据的 Spearman 等级相关系数(又称秩相关 或 名次相关),对两组配对顺序样本而言, 无法求出上述样本相关系数, 而应当采用Spearman 等级相关系数.,设有配对样本观测值x1, xn与 y1, yn .,二. Spearman 等级相关,等级相关系数公式如下:,式中, 而,表示 xi 的名次,表示yi 的名次.,注: 两个相同的名次 , 要加起来除以 2.,一个等价的公式是:,2. 刻度级(Scale) 配对样本的等级相关系数,刻度级的配对样本, 也可以排名次(秩), 因此可以求Spearman 等级相关系数. 计算公式同上. 等级相关, 也称非参数相关.,Spearmanman相关,我国30个省市区1997年的出生率X(单位:千分之一)和文盲率Y(单位:百分之一)为,13 16 10 22 20 26 19 29 27 30 14 23 28 24 25 14 16 9 10 8 18 20 27 26 30 22 28 29 25 11 -1 0 1 12 12 8 -1 2 1 0 -8 -5 -1 -1 14,2 3 12 18 17 7 9 8 1 6 5 15 11 21 4 1 6 12 5 15 2 4 7 3 19 17 21 23 13 24 1 -3 0 13 2 5 5 1 -2 -13 -12 -6 -12 8 -20,三 . 偏相关,偏相关就是, 在诸多相关的变量中, 剔除了其中的一个或若干个变量的影响后, 两个变量之间的相关关系.,1. 剔除了一个变量 Z 的影响后, 两个变量 X , Y 之间的偏相关系数。,偏相关系数是:,式中, r是普通样本相关系数.,2 . 剔除了两个变量 Z1, Z2 的影响后, 两个变量 X , Y 之间的偏相关系数,偏相关系数是:,式中, r,.是偏相关系数.,四. 相关系数异于零的显著性检验,由于我们是通过抽样的方法来研究变量之间的关系, 所以, 当求出各类样本相关系数不为零时, 并不能真正一定表明变量之间是相关的, 要通过假设检验判别是否显著异于 0.,1. 简单样本相关系数(Pearson)显著异于 0 的 T 检验,在二维总体(X,Y)服从正态分布条件下, Fisher 给出了检验简单相关系数(Pearson)显著异于0的t 统计量为:,服从 t (n-1)分布,式中, n 是样本容量, r 是简单相关系数.,设定假设: H0: r =0 H1: r 0 这是一个双尾检验问题.,2. 等级相关系数(Spearman)显著异于 0 的 T 检验,检验等级相关系数(Spearman)显著异于0的t 统计量为:,服从 t (n-1)分布,式中, n 是样本容量, r 是等级相关系数.,3. 偏相关系数显著异于 0 的 T 检验,检验偏相关系数显著异于0的t 统计量为:,服从 t (n-1)分布,式中, n 是样本容量, r 是偏相关系数，k是剔除了的变量数. 注意： 如果要作正负相关的双向检验，就要做双尾的T检验。如果只作正相关或负相关的检验，就只作单尾的T检验。 选择双尾还是单尾的T检验，所计算出来的 t 值是相同的，但是t的显著性概率p（统计值t的外侧概率）是不同的。在双尾情况下，t的外侧的概率是 21-P(Tt).在单尾的情况下, t的外侧的概率是1-P(Tt).,散点图 (例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据,散点图 (例题分析),散点图 (例题分析),相关系数 (例题分析),用Excel计算相关系数,相关系数的显著性检验, 对不良贷款与贷款余额之间的相关系