高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入第25讲平面向量的数量积与平面向量应用举例优选学案.docx

第25讲平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲要求考情分析命题趋势1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2017全国卷，132017全国卷，132017天津卷，142017北京卷，122016山东卷，132016江苏卷，131.平面向量的数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题2数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查.分值：5分1平面向量的数量积若两个_非零_向量a与b，它们的夹角为，则_|a|b|cos _叫做a与b的数量积(或内积)，记作_ab|a|b|cos _.规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量a与b垂直的充要条件是_ab0_，两个非零向量a与b平行的充要条件是_ab|a|b|_.2平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影_|b|cos _的乘积3平面向量数量积的重要性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角(1)eaae_|a|cos _.(2)非零向量a，b，ab_ab0_.(3)当a与b同向时，ab_|a|b|_；当a与b反向时，ab_|a|b|_，aa_a2_，|a|_.(4)cos _.(5)|ab|_|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)ab_ba_(交换律)(2)(a)b(ab)_a(b)_(为实数)(3)(ab)c_acbc_.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_x1x2y1y2_.由此得到：(1)若a(x，y)，则|a|2_x2y2_或|a|_；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|_；(3)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_x1x2y1y20_.6平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2.(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)2_a22abb2_.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负，也可为零()(2)若ab，则必有ab0.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(4)若ab0，则向量a，b的夹角为钝角()解析(1)正确由向量投影的定义可知，当两向量夹角为锐角时结果为正，为钝角时结果为负，为直角时结果为零(2)错误当a与b有一个为0时得不到ab0.(3)正确由数量积与向量线性运算的意义可知正确(4)错误当ab|a|b|时，a与b的夹角为.2下列四个命题中真命题的个数为(D)若ab0，则ab；若abbc，且b0，则ac；(ab)ca(bc)；(ab)2a2b2.A4B3C2D0解析ab0时，ab或a0或b0，故命题错误abbc，b(ac)0.又b0，ac或b(ac)，故命题错误ab与bc都是实数，故(ab)c是与c共线的向量，a(bc)是与a共线的向量，(ab)c不一定与a(bc)相等，故命题错误(ab)2(|a|b|cos )2|a|2|b|2cos2|a|2|b|2a2b2，故命题错误3在ABC中，AB3，AC2，BC，则(D)ABCD解析在ABC中，cosBAC，|cosBAC(AB2AC2BC2).4已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影为(C)ABCD解析|a|cos .5(2017全国卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_7_.解析因为ab(m1,3)，ab与a垂直，所以(m1)(1)320，解得m7.一平面向量数量积的运算求两个向量的数量积有三种方法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义求解；当已知向量的坐标时，可利用向量数量积的坐标运算求解；利用数量积的几何意义求解【例1】 (1)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a(C)A1B0C1D2(2)(2017天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2.若B2 D，A AA(R)，且AA4，则的值为_.解析(1)a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.(2)因为2，所以()，因为，所以()22，因为A60，AB3，AC2，所以9432324，解得.二平面向量的夹角与垂直问题(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos (夹角公式)，abab0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角【例2】 (1)(2016全国卷)设向量a(x，x1)，b(1,2)，且ab，则x_.(2)(2016山东卷)已知向量a(1，1)，b(6，4)若a(t ab)，则实数t的值为_5_.(3)(2016北京卷)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_.解析(1)因为ab，所以x2(x1)0，解得x.(2)因为a(tab)，所以a(tab)0，即t a2ab0，又因为a(1，1)，b(6，4)，所以|a|，ab16(1)(4)10，因此可得2t100，解得t5.(3)cosa，b，a与b夹角的大小为.三平面向量的综合应用平面向量与三角函数综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等【例3】 (1)已知O为坐标原点，向量O(3sin ，cos )，O(2sin ，5sin 4cos )，且OO，则tan 的值为(A)ABCD(2)已知向量a(sin cos ，)，Oab，Oab，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积为_1_.解析(1)由题意知6sin2cos (5sin 4cos )0，即6sin25sin cos 4cos20，上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40，由于，则tan 0，解得tan .故选A(2)由题意得|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以，|.由，得(ab)(ab)|a|2|b|20，所以|a|b|，由|，得|ab|ab|，所以ab0.所以|ab|2|a|2|b|22，所以|，故SOAB1.1在ABC中，已知向量(2,2)，|2，4，则ABC的面积为(C)A4B5C2D3解析(2,2)，|2.|cos A22cos A4，cos A，又0A0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1，当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1.易错点向量的夹角问题错因分析：不注意两向量a，b夹角为锐角(钝角)ab0(0)且a，b不共线【例1】 已知向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解析2te17e2与e1te2的夹角为钝角，(2te17e2)(e1te2)0，2te(2t27)(e1e2)7te0.|e1|2，|e2|1，e1e21，2t215t70，解得7t.若2te17e2与e1te2共线，由于e1，e2不共线，所以，解得t，所以t，因此实数t的取值范围为.【跟踪训练1】 已知ABC的三边长均为1，且c，a，b，则abbcac_.解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，abbcac11cos 120，abbcac.课时达标第25讲解密考纲本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难一、选择题1已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是(D)AxBx1Cx5Dx0解析由向量垂直的充要条件，得2(x1)20，解得x0.2已知非零向量a，b，|a|b|ab|，则cosa，ab(C)ABCD解析设|a|b|ab|1，则(ab)2a22abb21，ab，a(ab)a2ab1.|ab|，cosa，ab.3已知向量|2，|4，4，则以，为邻边的平行四边形的面积为(A)A4B2C4D2解析因为cosAOB，所以sinAOB，所以所求的平行四边形的面积为|sinAOB4.故选A4已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2，|b|1，则向量a与b夹角的正弦值为(D)ABCD解析a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3，cosa，b，又a，b0，sina，b.故选D5若ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且()0，则ABC一定是(C)A等腰直角三角形B非等腰直角三角形C等边三角形D钝角三角形解析因为()0，所以()()0，所以220，即|，又A，B，C度数成等差数列，故2BAC，又ABC，所以2BB，所以B，故ABC是等边三角形6(2017浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记I1，I2，I3，则(C)AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3解析如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易知AOAF，而AFB90，AOB与COD为钝角，AOD与BOC为锐角根据题意，I1I2()|cosAOB0，I1I3，作AGBD于G，又ABAD，OBBGGDOD，而OAAFFCOC，|，而cosAOBcosCODOO，即I1I3，I3I1I2.故选C二、填空题7(2017全国卷)已知向量a(2,3)，b(3，m)，且ab，则m_2_.解析因为ab，所以ab233m0，解得m2.8已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则 与 A的夹角为_90_.解析由()，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以 与 的夹角为90.9(2017北京卷)已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则 的最大值为_6_.解析由题意知(2,0)，令P(x，y)，1x1，则(2,0)(x2，y)2x46，故 的最大值为6.三、解答题10已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)求|ab|和|4a2b|；(2)当k为何值时，a2b与kab垂直解析由已知得ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，k7.故k7时，a2b与kab垂直11如图，O是ABC内一点，AOB150，AOC120，向量 ， 的模分别为2，4.(1)求|；(2)若mn，求实数m，n的值解析(1)由已知条件易知|cosAOB3，|cosAOC4，0，|22222()9，|3.(2)由mn，可得m2n，且mn2，mn4.12