高中数学第一章计数原理1.5.1二项式定理学案苏教版选修.docx

15.1二项式定理学习目标1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点二项式定理思考1我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的展开式思考2上述两个等式的右侧有何特点？思考3能用类比方法写出(ab)n(nN*)的展开式吗？梳理二项式定理及其概念(1)二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)叫做二项式定理，_叫做(ab)n的二项展开式，它一共有_项(2)二项展开式的通项_叫做二项展开式的第r1项(也称通项)，用Tr1表示，即Tr1_.(3)二项式系数_叫做第r1项的二项式系数类型一二项式定理的正用、逆用引申探究将本例(1)改为求(2x)5的展开式例1(1)求(3)4的展开式(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.反思与感悟(1)(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和等于n.字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢跟踪训练1化简(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.类型二二项展开式的通项例2已知二项式(3)10.(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项反思与感悟(1)二项式系数都是组合数C(r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念(2)第r1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(12x)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C23280.跟踪训练2已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数例3已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项反思与感悟(1)求二项展开式的特定项的常见题型求第r项，TrCanr1br1；求含xr的项(或xpyq的项)；求常数项；求有理项(2)求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练3(1)若9的展开式中x3的系数是84，则a_.(2)已知n为等差数列4，2,0，的第六项，则(x)n的二项展开式的常数项是_1(x2)8的展开式中x6的系数是_2二项式(x)12的展开式中的常数项是第_项3已知5的展开式中含的项的系数为30，则a_.4化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_.5求()4的展开式1求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特殊项，常见的题型有：求第r项；求含xr(或xpyq)的项；求常数项；求有理项其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误2二项式系数与项的系数的区别二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负答案精析问题导学知识点思考1(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考2(ab)3的展开式有4项，每项的次数是3；(ab)4的展开式有5项，每一项的次数为4.思考3能，(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN*)梳理(1)右边的多项式n1(2)CanrbrCanrbr(3)C(r0,1,2，n)题型探究例1(1)解方法一(3)4(3)4C(3)3()C(3)2()2C(3)()3C()481x2108x54.方法二(3)4()4(13x)41C3xC(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.(2)解原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.引申探究解方法一(2x)5C(2x)5C(2x)4C(2x)3()2C(2x)2()3C(2x)()4C()532x580x2.方法二(2x)5(2x31)5(12x3)51C(2x3)C(2x3)2C(2x3)3C(2x3)4C(2x3)580x232x5.跟踪训练1解原式C(2x1)5C(2x1)4C(2x1)3C(2x1)2C(2x1)C(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.例2解(3)10的展开式的通项是Tr1C(3)10r()rC310r()r(r0,1,2，10)(1)展开式的第4项(r3)的二项式系数为C120.(2)展开式的第4项的系数为C37()377 760.(3)展开式的第4项为T4T3177 760.跟踪训练2解(1)因为T3C()n224C，T2C()n12C，依题意，得4C2C162，所以2CC81，所以n281，n9.(2)设第r1项含x3项，则Tr1C()9rr(2)rC，所以3，r1，所以第二项为含x3的项，T22Cx318x3.二项式系数为C9.例3解通项公式为Tr1C (3)rC(3)r.(1)第6项为常数项，当r5时，有0，即n10.(2)令2，得r(n6)2，所求的系数为C(3)2405.(3)由题意，得令t(tZ)，则102r3t，即r5t.rZ，t应为偶数令t2,0，2，即r2,5,8.第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2.跟踪训练3(1)1解析展开式的通项为Tr1Cx9r(a)rrC(a)rx92r(0r9，r