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=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=信息光学习题答案信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x?df?x?; g?x?f?x?dx; dx?g?x?f?x?;g?x?f?h?x?d?; 2?f?exp?j2?d? 解：线性、平移不变； 线性、平移不变； 非线性、平移不变； 线性、平移不变； 线性、非平移不变。 证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ?comb?x?x?1?证明：左边comb?n?(x?2n)?2?(x?2n) ?2?n?2?n?2?n?x?2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?n?(x?n)?exp(j?x)?(x?n)n?n?(x?n)?exp(jn?)?(x?n)n? n?(x?n)?(?1)n?n?(x?n)?当n为奇数时，右边0，当n为偶数时，右边2所以当n为偶数时，左右两边相等。 n?(x?2n) (x) 证明?(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的函数公式?h(x)?i?1n?(x?xi)h?(xi),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。于是 ?(sin?x)?n?(x?n)?comb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。 解：设卷积为g(x)。当-1x0时，如图题(a)所示， g(x)?1?x0(1?)(1?x?)d?111?x?x3 326 图题 当0 2?2?2?2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x0时，如图题(a)所示，g(x)?0d?x?2 当0 2 图题 g(x)?d?2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2? ?x?2?(x)?rect(x)?1已知exp(?x2)的傅立叶变换为exp(?2)，试求 ?exp?x2?exp?x2/2?2解：设y? ?x,z? 即?exp(?y2)?exp(?2) 1?F?,? 得 ab?ab?2坐标缩放性质?f(ax,by)?exp?x2?exp(?y2/?exp(?z2)?exp(?2?2) 2?exp?x/2?2?exp?y?/2?2 ?2?exp(?2?2z2)?2?exp(?2?2?2) 计算积分.?sinc?x?dx?4?2?x?cos?xdx? sinc?解：应用广义巴塞伐定理可得 ? sinc(x)sinc(x)dx?2222 ?(?)?(?)d?(1?)d?(1?)d?103?021?1?1?1?sinc(x)cos?xdx?(?)?d?(?)?d? 2?2?2?2 ?1?1?1?1? 2?2?2? 应用卷积定理求f?x?sinc?x?sinc?2x?的傅里叶变换. 3 解：?sinc(x)sinc(2x)?sinc(x)?sinc(2x)?1?rect(?)?rect? 2?2?当?31?时，如图题(a)所示， 2211?3G(?)?2du? 2?12当?11?时，如图题(b)所示， 2211?2G(?)?1du?1 2?2当13?时，如图题(c)所示， 22113G(?)?1du? 2?222G()的图形如图题(d)所示，图可知 G(?)?3?1? 4?3/2?4?1/2? 图题 4 设f?x?exp?x，?0，求?f?x?解：?exp(?x)?f?x?dx? ?0?0?exp(?x)exp(?j2?x)dx?exp(?x)exp(?j2?x)dx ?2?2?(2?)2?exp(?x)dx?2?2?(2?)2?02? 设线性平移不变系统的原点响应为h?x?exp?x?step?x?，试计算系统对阶跃函数step?x?的响应. 解：阶跃函数定义 step(x)?线性平移不变系统的原点响应为 h?x?exp?x?step?x?exp?x?,所以系统对解阶跃函数step?x?的响应为g(x)?step(x)?h(x)?1,?0,x?0 得 x?0x?0 ?0exp?(x?)d?1?exp(?x),x?0 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1?x?sinc?x?和h2?x?sinc?3x?.试计算各自对输入函数f?x?cos2?x的响应g1?x?和g2?x?. 解： 已知一平面波的复振幅表达式为 U(x,y,z)?Aexpj(2x?3y?4z) 试计算其波长以及沿x,y,z方向的空间频率。 解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式 U(x,y,z)?aexp(jk?r)?aexpjk(xcos?ycos?zcos?) 5 题可知，kcos?2,kcos?3,kcos?4 又因为cos2?cos2?cos2?1 所以k?波长为 ?29 2?2? ?k291cos?3cos?2,? 2?沿x,y,z方向的空间频率为?cos?,? 单色平面波的复振幅表达式为 U?x,y,z?Aexp?j?1?14x?214y?z? 14?3求此波在传播方向的空间频率以及在x,y,z方向的空间频率. 解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式 U(x,y,z)?aexp(jk?r)?aexpjk(xcos?ycos?zcos?) 题可知，kcos?114,kcos?214,kcos?314 又因为cos2?cos2?cos2?1 所以k?1 波长为 ?2?2? k沿x,y,z方向的空间频率为?cos?12?14,?cos?1?14,?cos?32?14 第三章光学成像系统的传递函数 参看图，在推导相干成像系统点扩散函数()式时，对于积分号前的相位因子 ?k?k22?x0?y0?exp exp?j?j?2d0?2d0?xi2?yi2?M2? ?试问：物平面上半径多大时，相位因子 exp?j?k22?x0?y0? 2d0?相对于它在原点之值正好改变弧度？ 设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？ 这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , 和do之间存在什么关系6 时可以弃去相位因子 ?k22?exp?jx0?y0? ?2d0?解：于原点的相位为零，于是与原点相位差为的条件是 kro2k22 (xo?yo)?,ro?do 2do2do根据 1h(xo,yo;xi,yi)?2?dodi?2?P(x,y)exp?j(x?Mx)x?(y?My)y?dxdyioio?di? ?12?2P(x,y)exp?j(x?x)x?(y?y)y?dxdyioio?dodi?di?相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点(xo,yo) 1h(xo,yo;xi,yi)?2?dodi?2?22?j(xi?xo)?(yi?yo)?dxdy?P(x,y)exp?di? 1?1aJ1(2?a?)?r?2B?circ?2?dodi?a?dodi?式中r?x2?y2，而 2?yi?yo?di?xi?xo22?di? ?2在点扩散函数的第一个零点处J1(2?a?o)?0，此时应有2?a?o?，即 ?o?(2) a将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点(xi?yi?0)，于是得 ro?do (3) a 根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献h(xo,yo;0,0)。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近ro?do/a范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子expjkro2/2do变化不大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如/16)就满足以上要求，7 则kro/2do?2?16,ro2?do/16，也即 a?do例如 600nm , do = 600mm，则光瞳半径a，显然这一条件是极易满足的。 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 t?xo,yo?11?cos2?foxo 22放在图所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在xoz平面内，与z轴夹角为。透镜焦距为f ,孔径为D。 求物体透射光场的频谱； 使像平面出现条纹的最大角等于多少？求此时像面强度分布； 若采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与0时的截止频率比较，结论如何？ 解：斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp(jkx0,sin?)，为确定起见设 0，则物平面上的透射光场为Uo(xo,yo)?Aexp(jkxo,sin?)t(xo,yo)?其频谱为 ?A?sin?1sin?1sin?expj2?x?expj2?xf?exp?j2?xf?ooooo?2?2?2?A(?,?)?Uo(xo,yo) ?A?sin?1?sin?1?sin? ?f?f?oo?2?2?2?此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了sin/距离。 欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率?c?D/4?f，于是要求 此得 ?fo?角的最大值为 ?max?arcsin?此时像面上复振幅分布和强度分布为 sin?DDsin?D,?fo? 4?f4?f?4?fDD?sin? 4f4f?D?4f? ? 8 ?AD?1?exp?j2?x1?exp(?j2?xifo)i?24?f?2? 2A?5?Ii(xi,yi)?cos2?fxo?4?4?Ui(xi,yi)? 照明光束的倾角取最大值时，(1)式和(2)式可得?fo?DD ?4f4ffomax?D(3) 2?f即 fo?D2?f或0时，系统的截止频率为?c?D/4?f，因此光栅的最大频率fomax?c?D(4) 2?f比较(3)和(4)式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。 光学传递函数在?0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？ 解：在 ?H(?,?)?(?,?)?I?HI(0,0)?h(x,y)exp?j2?(?x,?y)dxdyIiiiii?i Iiiii?h(x,y)dxdy?式中，令h(xi,yi)?hI(xi,yi)? ii?h(x,y)dxdyIii?为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成 ? ?(?,?)?h(x,y)exp?j2?(?x,?y)dxdy iiiiii?而 ?(0,0)?1?h(x,y)dxdy iiii?即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义。不能大于1。 对于理想成像，归一化点扩散函数是函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。 9 当非相干成像系统的点扩散函数hI?xi,yi?成点对称时，则其光学传递函数是实函数. 解：于hI(xi,yi)是实函数并且是中心对称的，即有hI(xi,yi)?hI?(xi,yi)，hI(xi,yi)?hI(?xi,?yi)，应用光学传递函数的定义式 ?H(?,?)?(?,?)?I?HI(0,0)?h(x,y)exp?j2?(?x,?y)dxdyIiiiii?i Iiiii?h(x,y)dxdy?易于证明?(?,?)?(?,?)，即?(?,?)为实函数 非相干成像系统的出瞳是大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？ 解：用公式?(?,?)?S(?,?)来分析。首先，于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因S0此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截至频率约为2a/?di，于2a很小，所以系统实现了低通滤波。 第四章部分相干理论 若光波的波长宽度为，频率宽度为，试证明：?v?。设光波波长为?v?,?2?10?8nm，试计算它的频宽 = ? 若把光谱分布看成是矩形线型，则相干长度lc? 证明：因为频率与波长的关系为c?v?(其中c为光速) 对上式两边求导得 dc?vd?dv?0 所以 dvd?v?v? ?v?v?v?因?,?2?10?8nm c?v?v?v? ?v?c ?2?10 (1)占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积SW?8xyBxBy)，不具有降低空间带宽积的优点。 (2)黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。 罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码的. 16 解：对于型和型，是用A?x来编码振幅A(x,y)，用d?x来编码相位?(x,y)，在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题(a). 对于罗曼型是用两个相同宽度的矩孔来代替，型中的一个矩孔。两矩孔之间的距离A?x是变化的，用这个变化来编码振幅A(x,y)。在复平面上反映为两个矢量夹角的变化。两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量d?x用作相位?(x,y)的编码。在复平面上两矢量的合成方向即表示了?(x,y)的大小，如图题(b)所示。 第八章空间滤波 利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干照明下的最小分辨距离公式比较。 解：显微镜是用于观察微笑物体的，可对于非相干照明，几何光学可知其分辨距近似看作一个点，物近似位于物镜的前焦点为 上。设物镜直径为D，焦距为f，如图所示。对于相干照明，系统的截止频率物镜孔径的最大孔径角o决定，截止频率为sin?o/?。从几何上看，近似有截止频率的倒数的倒数即 sin?o?D/2f。为分辨距，即 ?c?2?f ?sin?oD? sin?o非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。 在4f系统输入平面放置40mm-1的光栅，入射光波长。为了使频谱面上至少能够获得5级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于2mm，求透镜的焦距和直径。 解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为d，透光部分为a，则其透过率函数可表为 17 ?x?md?x?f(x1)?rect?1?rect?x1?md?a?m?a?m?x?1?x?rect?comb?a?d?d?其频谱为 ?x?1?x1?F(?)?f(x1)?rect?1?comb?ad?d?am?asinc(a?)comb(d?)?sinc(a?)?dmd?ama?m?sinc()?dmd?d?即谱点的位置?x2/?f?m/d决定，即m级衍射在后焦面上的位置下式确定：x?m?f/d 相邻衍射斑之间的间距?x?f/d 此得焦距f为f?xd?2/40?79(mm) 6328?10?7物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的5级衍射斑对应于能通过透镜的最大空间频率应满足 ?于是求得透镜直径 D?10sin?1D/2?5 d?fd?10?x?20(mm) 观察相位型物体的所谓中心暗场方法，是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光。假定通过物体的相位延迟解：相位物体的透过率为 t(x1,y1)?expj?(x1,y1)?1?j?(x1,y1) ?1?j?(x1,y1)?(?,?)?j?(?,?) 其频谱为 T(?,?)?若在谱平面上放置细小的不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过的频谱为 TM(?,?)?j?(?,?) M再经过一次傅里叶变换(在反演坐标系)得t(x3,y3)?j?(x3,y3) 强度分布为 因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布，实现了将相位转换为强度分布的目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来困难。 18 当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透射率等于 (0解：相位物体的频谱为 现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个/2的相移，即滤波器的透过率表达式为 H(?,?)?j?,?1,在?0的小范围内其它 于是TM(?,?)?H(?,?)T(?,?)?j?(?,?)?j?(?,?) 像的复振幅分布为 tM(x3,y3)?j?j?(x3,y3) 像强度分布为 22I(x3,y3)?j?j?(x3,y3)?(x3,y3) ?2?2?(x3,y3)?2(x3,y3)?2?2?(x3,y3) 像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析。 用CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为，图像最高空间频率为10mm-1。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何(设傅立叶变换物镜的焦距f1000mm ,=)。 解：扫描点的表达式为 f(x1,y1)?其频谱为 ?xmn1?mx0,y1?ny0? F(?,?)?exp?j2?(?mx0?ny0)mn?1x0y01x0y0?(?m/x,?n/y0mn0) ?(mnx2my2n?,?)?fx0?fy0在上式的化简中应用了公式 1?n?exp(?j2?nax)?x? an?a?n?此可见，点状结构的频谱仍然是点状结构，但点与点之间的距离不同。扫描点频谱出现的位置为 ?x2y2mn ?,?fx0?fy0点状结构是高频，所以采用低通滤波将其滤掉。低通滤波器圆孔半径为 19 6328?10?7?1000r?x2?(mm) ?f能传递的最高空间频率为?sin?r1?f1?51/mm ?f?fx0x0即高于5 1/mm的空间频率将被滤掉，故输出图像的分辨率为5 1/mm。 某一相干处理系统的输入孔径为30mm30mm的方形，头一个变换透镜的焦距为100mm，波长是。假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平面上的定位必须精确到何种程度？ 解：考虑到系统孔径有限，一般用几何光学近似，引入光瞳函数P(x,y), 根据题意其表达式为 ?x?y?P(x,y)?rect?rect? ?30?30?设系统的输入面位于透镜的前焦面，物透明片的复振幅分布为f(x1,y1)，它的频谱分布为F(?,?)，透镜后焦面上的场分布 ?x?y?Uf(?,?)?C?f(x1,y1)rect?1?rect?1? ?30?30?900C?F(?,?)?sinc(30?)sinc(30?)expj2?(?x2?y2)式中?x2/?f,?y2/?f。Uf的表达式可见，频谱面上能分辨的细节sinc(30?)sinc(30?)决定。取一个方向来看，将sinc函数最大降为零的宽度取为最小分辨单元，即要求满足30?1或30?x2/?f?1，于是有 6328?10?7?100?10?3(mm)?m?x2?3030?f因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不允许超过它的一半，约1m. 第九章 相干光学处理 参看图，在这种图像相减方法的编码过程中，如果使用的光栅透光部分和不透光部分间距分别为a和b，并且ab。试证明图像和的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频的调制。 20 解：如图题所示，先将t (x)展开成傅立叶级数 a0?2n?x2n?x t(x)? ?ancos?bnsin2n?1a?ba?b 式中 2a?2R0a?bn?n?(a?b)?2sincos,?n?22(a?b) an?2n?(a?b)n?sincos,?2(a?b)2?n?a0?bn?0所以 n?奇 n?偶t(x)?R0?2n?n?(a?b)2n?xsincoscos?n?22(a?b)(a?b) 2n?n?(a?b)2n?xcossincos?n?22(a?b)(a?b)?R0?R1?R2第一次曝光得 IAt(x)?IAR0?IAR1?IAR2 对于t?(x)是将光栅向x的负方向移动半个周期即(a+b) /2，将它展开成傅立叶级数得 21 第二次曝光得 IBt(x)?IBR0?IBR1?IBR2总曝光量(IA?IB)(R0?R2)?(IA?IB)R1 即图像和的信息受到光栅偶数倍频的调制，图像差的信息受到光栅奇数信频的调制。 用Vander Lugt方法来综合一个平年元平面滤波器，如图(左)所示，一个振幅透射率为s(x,y)的“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜的前面，用照相底片记录后焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透射率正比于曝光量。这样制得的透明片放在图题(右)的系统中，假定在下述每种情况下考查输出平面的适当部位，问输入平面和第一个透镜之间的距离d应为多少，才能综合出： 脉冲响应为s(x,y)的滤波器？ 脉冲响应为s* (x,y)的“匹配”滤波器？ 解：参看图题左，设物面坐标为x1, y1；胶片坐标为x2, y2。则参考光波在记录胶片上造成的场分布为 Ur(x2,y2)?Aexp(?j2?y2)式中A为常数， sin/为空间频率。物透明片在记录胶片上造成的场分布为U1(x2,y2)?Cexp?j?22?(x2?y2)?S(?,?) ?f?式中S(,)为s(x1, y1)的频谱，且x2/f，=y2/f。胶片上的光强分布为 I(x2,y2)?Ur(x2,y2)?U1(x2,y2)222222?x2?y2?A?CS(?,?)?CAS(?,?)exp?j2?y2?(2) ?2?f?22?x2?y2?CAS(?,?)exp?j2?y2?2?f?将曝过光的胶片显影后制成透明片，使它的复振幅透过率正比于照射光的强度，即t(x2,y2)?I(x2,y2) 将制得的透明片作为频率平面模片，放在图题右所示的滤波系统中。要综合出脉冲响应s(x , y)或s*(-x , -y)，只要考察当输入信号为单位脉冲 (x , y) 时，在什么条件下系统的脉冲响应为s(x , y)或s*(-x , -y)。 22 参看右图，当输入信号为 (x1 , y1)时，在L2的后焦面上形成的光场复振幅分布，根据公式 ?(f?do)(x2?y2)?f(xox?yoy)?U(x,y)?c?exp?jkt(x,y)exp?jk?oo?dxodyoq(f?do)?fdo?2?q(f?do)?fdo?得22?d?x2?2?y2?U2(x2,y2)?exp?j2?1?(x,y)exp?j(xx?yy)112121?dx1dy1?2?f?f?f?d?x?y?exp?j2?1?f?2?f?透过频率平面模片得光场分布，(2)，(3)和(4)式得 2222 (4)22?d?x2?y2?(x2,y2)?U(x2,y2)t(x2,y2)?A?CS(?,?)exp?j2?U21?f?2?f?22222?dx2?y2?CAS(?,?)exp?j2?y2?f2?f?*22?y2d?x2?CAS(?,?)exp?j2?2?y?2?2?ff? (5)如果要使系统是脉冲响应为s(x , y)的滤波器，应当利用(5)式中含有S(,)的第三项，应要求该项的二次相位因子为零，即有 d =2f(6) 这时的输出为 U3(x3,y3)?S(x3,y3?f) 若要使系统的脉冲响应为s*(-x ,