核反应堆物理分析课后习题参考答案.pdf

核反应堆物理分析答案 第一章 1-1.某压水堆采用UO2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为 10000kg/m3。试计算：当中子能量为0.0253eV时，UO2的宏观吸收截 面和宏观裂变截面。 解：由18页表1-3查得，0.0253eV时： 由289页附录3查得，0.0253eV时： 以c5表示富集铀内U-235与U的核子数之比，表示富集度，则有： 所以， 1-2.某反应堆堆芯由U-235,H2O和Al组成，各元素所占体积比分别为 0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。 解：由18页表1-3查得，0.0253eV时： 由289页附录3查得，0.0253eV时： 可得天然U核子数密度 则纯U-235的宏观吸收截面： 总的宏观吸收截面： 1-3、求热中子（0.025电子伏）在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收 前平均遭受的散射碰撞次数。- 解：设碰撞次数为t 1-4、试比较：将2.0MeV的中子束强度减弱到1/10分别需要的Al，Na， 和Pb的厚度。 解：查表得到E=0.0253eV中子截面数据： a s Al： 0.015 0.084 Na： 0.013 0.102 Pb： 0.006 0.363 Al和Na的宏观吸收截面满足1/v律。 Q：铅对2MeV中子的吸收截面在屏蔽中是否可以忽略？(在跨越了可分 辨共振区后截面变得非常小) a=a(0.0253)(0.0253/2106)1/2 a Al 0.016910-4 Na 0.014610-4 窄束中子衰减规律： I=I0e -x I=(1/10)I0 x=(ln10)/ 因此若只考虑吸收衰减： xAl=136.25104m xNa=157.71104m 对于轻核和中等质量核，弹性散射截面在eV几MeV范围内基本不 变。所以只考虑弹性散射截面时，结果如下：(相比较之下能量为2MeV 时，弹性散射截面要比吸收界面大很多) 但是不清楚对于重核铅弹性截面基本不变的假设是否成立？ xAl=27.41m xNa=22.57m xPb=6.34m 1-6 1-7有一座小型核电站，电功率为15万千瓦，设电站的效率为27%， 试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所消耗的铀-235数量。 解：热能： 裂变U235核数： 俘获加裂变U235核数： 消耗U235总质量量： 8、某反应堆在额定功率500兆瓦下运行了31天后停堆，设每次裂变产 生的裂变产物的放射性活度为1.0810-16t-1.2居里。此处t为裂变后的 时间，单位为天，试估算停堆24小时堆内裂变产物的居里数 解： 1-9设核燃料中铀-235的浓缩度为3.2%（重量），试求铀-235与 铀-238的核子数之比。 1-10.为使铀的1.7，试求铀中U-235富集度应为多少(E=0.0253eV)。 解：由18页表1-3查得，0.0253eV时： 由定义易得： 为使铀的1.7， 富集 11.、为了得到1千瓦时的能量，需要使多少铀-235裂变 解：设单次裂变产生能量200MeV U235裂变数： U235质量： 1-12 反应堆的电功率为1000兆瓦，设电站的效率为32%。问每秒有 多少个铀-235发生裂变？问运行一年共需消耗多少公斤易裂变物质？ 一座相同功率煤电厂在同样时间需要多少燃料？已知标准煤的燃烧热 为Q=29兆焦/公斤。 每秒钟发出的热量： 每秒钟裂变的U235： 运行一年的裂变的U235： 消耗的u235质量： 需消耗的煤： . 一核电站以富集度20%的U-235为燃料，热功率900MW,年负荷因子 (实际年发电量/额定年发电量)为0.85, U-235的俘获裂变比取0.169,试 计算其一年消耗的核燃料质量。 解：该电站一年释放出的总能量= 对应总的裂变反应数= 因为对核燃料而言： 核燃料总的核反应次数= 消耗的U-235质量= 消耗的核燃料质量= 第二章 .某裂变堆，快中子增殖因数1.05，逃脱共振俘获概率0.9，慢化不泄漏 概率0.952，扩散不泄漏概率0.94，有效裂变中子数1.335，热中子利用 系数0.882，试计算其有效增殖因数和无限介质增殖因数。 解： 无限介质增殖因数： 不泄漏概率： 有效增殖因数： 2-1.H和O在1000eV到1eV能量范围内的散射截面近似为常数，分别为 20b和38b。计算H2O的以及在H2O中中子从1000eV慢化到1eV所需的 平均碰撞次数。 解：不难得出，H2O的散射截面与平均对数能降应有下述关系： H2OH2O = 2HH + OO 即： (2H + O ) H2O = 2HH + OO H2O =（2HH + OO）/(2H + O ) 查附录3，可知平均对数能降：H=1.000，O=0.120，代入计算得： H2O = (2201.000 + 380.120)/(220 + 38) = 0.571 可得平均碰撞次数： Nc = ln(E2/E1)/ H2O = ln(1000/1)/0.571 = 12.09 12.1 2-6.在讨论中子热化时，认为热中子源项Q(E)是从某给定分界能Ec以上 能区的中子，经过弹性散射慢化而来的。设慢化能谱服从(E)=/E分 布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由Ec以上能区，（1）散射到能 量E（EE） （2）利用上一问的结论： 2-8.计算温度为535.5K，密度为0.802103 kg/m3的H2O的热中子平均宏 观吸收截面。 解：已知H2O的相关参数，M = 18.015 g/mol， = 0.802103 kg/m3，可 得： m-3 已知玻尔兹曼常数k = 1.3810-23 JK-1，则： kTM = 1.38 10-23535.5 = 739.0 (J) = 0.4619 (eV) 查附录3，得热中子对应能量下，a = 0.664 b， = 0.948，s = 103 b，a = 0.664 b，由“1/v”律：0.4914 (b) 由56页（2-81）式，中子温度： 577.8 (K) 对于这种”1/v”介质，有： n 0.4192 (b) 所以：1.123 (m-1) 三章 3.1 有两束方向相反的平行热中子束射到235U薄片上，设其上某点自左 面入射的中子束强度为1012 cm-2s-1。自右面入射的中子束强度21012 cm-2s-1。计算： （1）该点的中子通量密度； （2）该点的中子流密度； （3）设a = 19.2102 m-1，求该点的吸收率。 解：（1）由定义可知：31012 (cm-2s-1) （2）若以向右为正方向：-11012 (cm-2s-1) 可见其方向垂直于薄片表面向左。 （3）19.231012 = 5.761013 (cm-3s-1) 3.2 设在x处中子密度的分布函数是 其中：，为常数，是与x轴的夹角。求： （1） 中子总密度n( x )； （2） 与能量相关的中子通量密度( x, E )； （3） 中子流密度J( x, E )。 解：由于此处中子密度只与与x轴的夹角有关，不妨视为极角，定义在 Y-Z平面的投影上与Z轴的夹角为方向角，则有： （1）根据定义： 可见，上式可积的前提应保证 0 的区域进行讨论。 燃料内的单能中子扩散方程： 边界条件： i. ii. 通解形式为： 利用Ficks Law： 代入边界条件i： 代入边界条件ii： 所以 （2）把该问题理解为“燃料内中子吸收率 / 燃料和慢化剂内总的中子吸 收率”，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分别为和，则有： 回顾扩散长度的定义，可知：，所以上式化为： （这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为S，其在b处的流密度 自然为0，但在a处情况特殊：如果认为其流密度也为0，就会导致没有 向燃料内的净流动、进而燃料内通量为0这一结论！所以对于这一极度 简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节。） 3-21 解：（1）建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系（对此问题表达 式较简单），建立扩散方程： 即： 边界条件：i. , ii. 设存在连续函数满足： 可见，函数满足方程，其通解形式： 由条件i可知：C = 0， 由方程（2）可得： 再由条件ii可知：A = 0，所以： （实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而 其梯度为0） （2）此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考 虑正半轴，建立扩散方程： 即：，x 0 边界条件：i. , ii. , iii. 对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。 参考上一问中间过程，可得通解形式： 由条件ii可得： 由条件iii可得：C = 0 所以： 对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。 3-22 解：以源平面任一点为原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程： 边界条件： i. ; ii. ; iii.; iv. ; 通解形式：， 由条件i： （1） 由条件ii： （2） 由条件iii、iv： （3） （4） 联系（1）可得： 结合（2）可得： 所以： 3-23 证明：以平板中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半 轴，建立扩散方程： 即：，x 0 边界条件：i. , ii. , iii. 参考21题，可得通解形式： 由条件ii可得： 再由条件iii可得： 所以： 由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证 毕。 3-24 设半径为R的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生S个中子， 试求球体内的中子通量密度分布。 解：以球心为原点建立球坐标系，建立扩散方程： 即： 边界条件：i. , ii , iii. 通解： 由条件iii： 再由条件ii： 所以： （此时，） 第四章 4-1 试求边长为a，b，c（包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率 和中子通量密度分布。设有一边长a=b=c=0.5 m，c=0.6 m（包括外推 距离）的长方体裸堆，L=0.0434 m，=6 cm2。（1）求达到临界时所 必须的k；（2）如果功率为5000 kW，f=4.01 m-1，求中子通量密度 分布。 解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为： 边界条件： （以下解题过程中不再强调外推距离，可以认为所有外边界尺寸已包含 了外推距离） 因为三个方向的通量变化是相互独立的，利用分离变量法： 将方程化为： 设： 先考虑x方向，利用通解： 代入边界条件： 同理可得： 其中0是待定常数。 其几何曲率：106.4 ( m-2 ) （1）应用修正单群理论，临界条件变为： 其中：0.00248 ( m2 ) 1.264 （2）只须求出通量表达式中的常系数0 1.0071018 ( m-2s-1 ) 4-2 设一重水-铀反应堆堆芯的k=1.28，L2=1.810-2 m2，=1.2010-2 m2。试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部材料曲 率和达到临界时总的中子不泄漏概率。 解：对于单群理论：15.56 ( m-2 ) 在临界条件下：0.7813 (或用) 对于单群修正理论：0.03 ( m2 ) 9.33 ( m-2 ) 在临界条件下：0.68 0.7813 ? （注意：这时仍能用，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对 不泄漏概率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不 再是之前的系统了） 4-4 解： = 4.791024 (m-3)， 4.791028 (m-3) 堆总吸收截面：= 0.344 (m-1) 总裂变截面：= 0.280 (m-1) = 2.6110-2 (m2) = 1.97 则材料曲率：= 37.3 (m-2) 在临界条件下： = 0.514 (m) 考虑到外推距离：= 0.018 (m) （如有同学用也是正确的，但表达式相对复杂） 再考虑到堆的平均密度：= 957 (kg/m3) （或者由）实际的临界质量： = 156 (kg) 4-5 证明：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程： 边界条件：i. ； ii. ； （如果不认为R2包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖） 球域内方程通解： 由条件i可得： 由条件ii可得： 由此可见，证毕 -7 一由纯235U金属（=18.7103 kg/m3）组成的球形快中子堆，其 周围包以无限厚的纯238U（=19.0103 kg/m3），试用单群理论 计算其临界质量，单群常数如下： 235U：f=1.5 b, a=1.78 b, tr=35.4 m-1, =2.51；238U：f=0, a=0.18 b, tr=35.4 m-1。 解：以球心为坐标原点建立球坐标系，对于U-235和U-238分别列单群稳 态扩散方程，设其分界面在半径为R处： U-235： 方程1 U-238： 方程2 边界条件： i. ii. iii. iv. 令（在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率），球域内方 程1通解： 由条件i可知A5 = 0，所以： 球域内方程2通解： 由条件iv可知C8 = 0，所以： 由条件ii可得： 由条件iii可得： 所以（由题目已知参数：） 即： 代入数据： 4.7910-28 ( m-3 ) 4.8110-28 ( m-3 ) 2.115 1.3110-3 ( m2 ) 29.17 ( m-1 ) 0.1043 ( m ) 0.06474 ( m ) 21.3 ( kg ) 4-8 证明： （1）如图4-8所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为（临 界条件下，几何曲率与材料曲率相等）： ，（） 边界条件（不考虑外推距离）： i. ii. iii. （注意，这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理： 如果都是区间上的连续函数，则对于任一及任意的，方程存在唯一解 定义于区间上，且满足初值条件， 而此扩散方程并非线性微分方程。） 对于表达式：， 不难证明其满足上述全部三个边界条件。（） （2）将表达式代入方程，其中，已知如下关系： 可推得： 所以： 所以： 再有： 所以方程化为： 可知该表达式为方程的解。证毕。 （也可如此推出解的形式：分离变量： 方程变形： 设：（n为任意实数），： 变量替换：， 此为n阶Bessel方程，通解为： 由边界条件i可得，n须取使的值，在其中，我们只取基波，即n=1，相 应的： 相应的： 由边界条件ii可得， 对于z有： 由边界条件ii可得， 所以：） 4-10 解：（1）对于均匀圆柱体裸堆，其几何曲率： 可得，在临界条件下： 临界体积： 其取最小值时：，即： 所以：0.5412 （2）由上可得临界最小体积： 由于临界条件下： 所以： 4-11 设有一由纯239Pu（=14.4103 kg/m3）组成的球形快中子临界裸 堆，试用下列单群常数：=2.19, f=1.85 b, r=0.26 b, tr=6.8 b计算其 临界半径与临界质量。 解：4-11 解：由已知条件可得：3.641028 ( m-3 ) 1.92 1.7710-3 ( m2 ) 设临界半径为R，则由临界条件：，可得： 0.138 ( m ) 对于这一实际问题，需考虑外推距离：0.0288 ( m ) 所以实际临界体积为：5.4010-3 ( m3 ) 临界质量：77.8 ( kg ) -12 试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值之比， 即热中子通量密度的不均匀系数： （1） 半径为R的球形堆，反射层节省为T； （2） 半径为R，高度为H的圆柱体堆，反射层节省分别为r和 H； （3） 边长为 a，b，c的长方体堆，反射层节省分别为x，y， z。 解： 可利用裸堆结论：球： 圆柱： 立方体： 详细推导：根据97页表4-1裸堆的通解形式可得： 球： 圆柱： （与教材上数值的差异在于对所取的近似值的不同，在此取的是 0.5191） 立方体： 4-16 解：以平板厚度方向上的几何中心为原点建立坐标系，对两区分别建立 单群稳态扩散方程（由于几何上的对称性，对于本题只需考虑一侧，如 x为正一侧）： 方程1 方程2 边界条件：i. ; ii. 由表3-1查得方程1的通解： 其中第二项明显有悖于对称性条件，故CI = 0，同理有： （由于本题是求解临界尺寸，默认的前提是几何曲率等于材料曲率，故 以下不再对其进行区别，统一用B2表示） 由条件ii可得： 整个系统的临界条件为： 即： （注意，此处的泄漏仅仅是II区外表面上的泄漏，I-II区之间的净流动是 通过对通量分布产生影响从而作用于泄漏率的） 可见，临界尺寸a与b负相关，从物理上理解：由于I区增殖性质弱于II 区，故存在由II区向I区的净流动，相当于II区的泄漏。I区尺寸越小，则 这一泄漏越弱，当b = 0时，则无此项泄漏，此时的临界尺寸a最小。但 不要认为ab之和为固定常数！这里用几何曲率只是考虑基波，求出的a + b相当于同一材料曲率下最小