动量和能量守恒定律.ppt

3-43-6 功和能,一、功和功率 二、动能定理 三、保守力和势能 四、能量守恒定律及其应用,基本内容：,质点,质点系,质点系,基本要求：,1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力做功的特征； 2.质点、质点系的动能； 3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分析物体运动特征； 4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内力的功可以改变质点系的总动能； 5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问题要能划分阶段，分别选用恰当的力学定理或守恒定律求解。,一、功和功率,1.恒力的功 W=Fcos r,位移无限小时：,dW 称为元功,功等于质点受的力和它的位移的点积,单位：J 【焦耳（Joule）】 量纲：ML2T2,3-4 动能定理,力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。,功的定义：,元功：dW 元位移：,在元位移中将力视为恒力，力沿ab的功为所有无限小段位移上的元功之和。,解析式：,如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下：,2、变力的功, 功与运动过程有关。,注意：, 功是标量，有正负之分。,其正负由力与位移夹角所决定。,只有在质点的位置发生变动的过程才存在功。一般而言，功的值还和受力质点由初、末位置所经历的运动途径有关；即功是过程量。,由于位移具有相对性导致的结果。, 功的值与参照系有关相对性。,车厢参照系 位移s 功w=Fs,地面参照系 位移s w=F(s+s),例：匀速前进车中，物体在 作用下，沿直线由ab,3、功率 力在单位时间内所作的功,单位：W或Js-1 【瓦特（Wate）】 量纲：ML2T3,功的其它单位：1eV=1.610-19J, 合力的功为各分力的功的代数和。,例1、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？,解：取地心为原点，引力与矢径方向相反,例2、质量为 2kg 的质点在力,(SI),的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。,解：,作业：P95 3-18,4、“一对力”的功,m1、m2组成一个封闭系统 在t时间内,把作用力与反作用力，更一般地，把两个大小相等、方向相反的力“一对力”,两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。 即“一对力”作功与参照系无关。 可选取最方便的参照系（如选在其中一质点上）来计算一对力的功。,一对正压力的功恒为零。,常见情况下“一对力”的功,元功：,设m、M相对地面都在运动，一对正压力 、 的功与,参考系无关，选取M为参照系最方便。,一对静摩擦力的功恒为零。,因为两个接触物体间无相对运动，以其中一个物体为参照系，则另一物体的相对位移为零。,/斜面，即,一对正压力的功恒为零,一对滑动摩擦力的功恒为负。,因为滑动摩擦力的方向总是与相对运动方向相反，以其中任一个物体为参照系，则另一物体的受到的滑动摩擦力的方向一定与它相对参照系的位移方向相反。所以，其功恒为负。,二、质点的动能定理,1. 质点的动能定理,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,力对物体所做功与物体状态之间的关系。,设质点m受合外力F，从A移至B,定义：,单位：J 量纲：ML2T2,质点的动能,质点的动能定理,2、关于质点动能定理的说明,式中W合外力作功；当W0作正功，质点的动能才增加，反之，W0，其动能减少。,功与动能之间的联系与区别。,联系：当合外力对质点作功，质点的动能才发生变化。功是动能变化的量度。,区别：动能是与物体状态有关的量状态量 功是与物体运动过程有关的量过程量,该定理不是力学的一个新的独立的定律，是定义了功和动能之后，直接有牛顿第二定律推导出来的。,功与动能、动能定理适用于惯性系。,用该定理对于求解某些力学问题十分有用。,例、质量为0.01kg的子弹，以200m/s的速度射击木板。射入木板内4cm时，子弹停留在木板内，求木板的平均阻力；若木板厚2cm，求子弹穿过木板后的速度（设木板的平均阻力不变）。,解：,子弹停留在木板内，末动能为零,子弹穿过木板后，仍有一定速度。,教材 P66 例2、一质量为m=1.0kg的小球系在长为l=1.0m的细绳下端，起初把绳子放在与竖直线成30角处，然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与竖直线成10角时，小球的速率。,解：,合外力的元功,由动能定理：,代入数值：l=1 m，0=30， =10,作业：P95 3-21 3-22,3-5 保守力与非保守力 势能,保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。 势能：在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定的能量称为势能。,一 万有引力、重力、弹性力作功的特点,1.万有引力作功,如图,设万有引力存在于质量为 和 物体之间， 物体相对不动， 物体在 物体的引力场中从 A 点沿任意路径移到 B 点。两个质点之间在引力作用下相对运动时 ,万有引力做功只取决于质点m的起、末点位置，而与路径无关。万有引力是保守力。,以 所在处为原点, 指向 的方向为矢径的正方向。 受的引力方向与矢径方向相反。则万有引力对质点所作的功为：,2. 重力作功,设质点m在重力作用下由A运动到B，取地面为坐标原点，y轴向上为正，A、B的坐标分别为y1、 y2 。,可见，重力是保守力。,3. 弹性力作功,如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。,可见，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说，弹性力所作的功只由弹簧起始和终了的位置决定，而与弹性形变的过程无关。弹性力是保守力。,当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不发生形变，此时物体位于点0(即位于x=0处)，这个位置叫做平衡位置,现以平衡位置0为坐标原点，向右为x轴正向。,二 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式,凡其作功与路径无关，仅与始、末位置有关的力称为保守力。,凡作功与路径有关的力称为非保守力。,推导保守力作功的数学表达式,设一物体m在保守力作用下,自点A沿路径ACB到达点B，或沿路径ADB到达点B。根据保守力作功与路径无关的特点做功与路径无关，只与起点、终点位置有关。,重力和弹性力，万有引力（重力就是一种万有引力）、分子间相互作用的分子力、静电力等都属于保守力。,常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。,对沿闭合路径ACBDA运动一周的物体做功为,（路径L1）,（路径L2）,物体沿闭合路径运动一周时，保守力做功为零,1.定义：,由物体间的相对位置所决定的能量，其改变量可以度量保守力所作的功。该能量称为势(位)能。,为势能增量,保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。,三 势能,则有：,若选取b为零势能点，,则有：,2.几种常见保守力的势能,重力势能,设m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点，y轴向上为正，a、b的坐标分别为ya、yb。,重力的功等于重力势能增量的负值。,重力势能以地面为零势能点，,引力势能,设两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M 所在处为原点,M 指向m 的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。,万有引力的功等于引力势能增量的负值。,引力势能以无穷远为零势能点。,弹性势能,o,M,m,弹性势能以弹簧原长为零势能点。,势能曲线对照表(势能随位置变化的曲线势能曲线),保守力沿某一给定的l方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿l方向的空间变化率。,3.势能和保守力的关系：,势能是保守力对路径的线积分，,若势能为EP（x,y,z),保守力等于势能的负梯度。grad梯度运算,势能是状态的函数。在保守力作用下，保守力所作的功与路径是无关的。所以，势能是坐标的函数，亦即是状态的函数。,说明：,势能的量值仅有相对意义。必须指出零势能参考点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函数。,势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不应将其看作属于某一物体的。 重力势能物体和地球组成的重力系统； 弹簧势能物体和弹簧组成的弹性系统。,只有当我们选定某一位置为系统的势能零点时，其他系统的势能才有确定的量值。势能零点的选取是任意的。通常，选地面为重力势能零点；无穷远处为引力势能零点；平衡位置为弹簧势能零点。须加以说明。,系统具有势能的条件是物体之间的相互作用力必须是保守力，而对非保守力系统谈论势能，则没有任何意义。 如：摩擦力为非保守力，不存在什么摩擦势能。,3-6 功能原理 机械能守恒定律,动能定理适合于单个物体，也可将其推广到多个物体组成的系统，成为系统的功能原理。,一、质点系的动能定理,设系统由n个物体（质点）组成，作用于各个质点的力所作的功分别为：,各质点的初动能：,末动能：,由质点的动能定理：,以上各式相加得：,作用于质点系的力所作之功，等于该质点系的动能增量。这也叫做质点系的动能定理。,系统内的质点所受的力，既有来自系统外的外力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力。,作用于质点系的力所作的功，应是一切外力（系统外力）对质点系所作的功与质点系内一切内力（系统内力）所作的功之和,即：,所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。,质点系的动能定理：,注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。,即：,因为系统内保守力作的功等于势能增量的负值，所以，质点系内各内力的保守力所作的功应为：,二、质点系的功能原理,将系统内力分成保守力与非保守力，其对质点系作功分成保守内力作的功和非保守内力作的功。,则：,质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和。这就是质点系的功能原理,定义：,机械能E：系统中各物体的动能与势能之总和。,质点系的动能定理：,即无外力作用下，其机械能增加。,即外力作功之和为负，其机械能减少；,即外力作功之和为正，其机械能增加。,在解决具体问题时，可以使用动能定理，也可以使用功能原理。,当 ，,当 ，,即无外力作用下，其机械能减少；,注意：, 各质点所受外力作功之和，不是合外力作功；同理， 同上。,研究某个物体动能定理；外力作功物体上所有合外力作功，包括重力、弹性力等保守力；,研究某个系统功能原理；保守内力作功由系统势能变化代替了，不再计入功的总和之中。,三、机械能守恒定律,则有：,若外力和非保守性内力都不作功，即,当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的总机械能是守恒的机械能守恒定律,在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。,上式可改写为：,说明：在满足机械能守恒的条件下，系统内的动能与势能是可以相互转换的，而其转换是通过系统内保守力作功来实现的。,即：,分析：在机械能守恒的条件下，常见几种保守力的势能曲线。,其中，曲线斜率为保守力的大小。由曲线观察零势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量的转化。,重力势能曲线,弹性势能曲线,万有引力势能曲线,在牛顿运动定律的基础上，研究力的空间积累作用与受力质点运动状态变化之后，建立的功和能的概念。各概念定理之间的联系如下图所示：,四、功与能的关系,质点,质点系,质点系,选系统，看运动。,分析系统内各物体受力情况：分清内力、外力；保守力、非保守力。由功的定义，定性判断各力是否作功及作功的正负等。,五、利用功能原理解题步骤,查受力，分析功。,依题意，选择合适的系统关键第一步。要求能将已知条件和所求量相联系起来。,较复杂问题须将此步与下一步骤结合考虑。若涉及势能，所选系统应包括有保守力作用的物体系。,确定后，应定性分析系统内各物体的运动状态。,分析:m下滑，M必向后退,例：已知物体的质量分别为M、m，M槽的半径为R。各处光滑，开始时，M、m均静止。求m自顶端滑到1/4圆弧槽底时对地的速度？,其受力如图。,因涉及重力势能，因此，所选系统应包括地球。,若系统：物体m、M、地球；分析功：无外力，,涉及势能时，首先确定参考点（势能零点）。明确系统的始末状态（位置、速度），写出相应状态的能量。应用原理列方程。,审条件，用定理。,、 为一对作用力与反作用力；所以，满足机械能守恒条件。可以用机械能守恒列方程；同时，水平方向系统合外力为零，满足动量守恒条件。,明状态，列方程。,对于复杂问题，要结合运动学、牛顿定律等力学知识求解。之后，按常规解题步骤处理。,举例 教材P75 例1：如图3-20所示，一雪橇从高度为