考研数学]北京航天航空大学线性代数2.ppt

第四节 向量组的秩,内容简介,1. 向量组的秩,2. 最大线性无关组的定义,3. 有关矩阵秩的定理和线性相关的定理,向量组 1, 2, , m 中若有r个向量线性无关，而任意r1个向量均线性相关，则称此向量组的秩为r，记为,定义,矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩.,定理4.1,若一个向量组的秩为r, 那么这向量组中的r个线性无关的向量与这向量组本身的关系如何呢?,证明 利用上节推论4及秩的定义即可.,定义 如果向量组 1, 2, , m 中的部分向量组,(1) 向量组,(2) 向量组 1, 2, , m 中任何一个向量可由,线性无关的向量组的最大线性无关组是其本身.,满足条件:,线性无关.,线性表出.,则称,为向量组1, 2, , m 的,最大线性无关组(极大线性无关组).,例1 求向量组1=(1, 0, 0), 2=(0, 1, 0), 3=(0, 0, 1), 4=(1, 1, 1), 5=(1, 1, 0) 的最大线性无关组.,因1, 2, 3显然线性无关，而1, 2, 3, 4, 5 均可由1, 2, 3 线性表出. 所以1, 2, 3 构成向量组 1, 2, 3, 4, 5 的最大线性无关组.,解,可以验证1, 2, 4与 1, 3, 4 都是向量组的最大线性无关组. 因此对于向量组而言, 最大线性无关组不是唯一的.,一个向量组只要含有非零向量，那么向量组的最大线性无关组一定存在.,问题：同一个向量组的不同的最大线性无关组所含向量的个数是否相同. 向量组的最大线性无关组中所含向量的个数同其秩有何关系?,定理4.2 如果向量组1, 2, , m 中的每一个向量均可由向量组1, 2, , r 线性表出，并且m r，那么向量组1, 2, , m 线性相关.,设,证,由已知条件得,作矩阵C,显然R(C)=R(B1)，又若设A=(aij)mn ，则R(A)R(C). 于是R(B1) rm ，故R(A) m ，于是由定理3.1知: 1, 2, , m 线性相关.,推论1 如果向量组 1, 2, , m 中的每一个向量均可由 1, 2, , r 线性表出，并且 1, 2, , m 线性无关，那么 mr .,证 此推论为定理4.2的逆否命题.,证 设向量组 1, 2, , m 的两个最大线性无关组分别为：,推论2,同一向量组的最大线性无关组所含向量的个数相同.,由,为最大线性无关组, 故,可由其线性表出, 又,线性无关, 由推论1得r1r2. 同理r2r1. 因此r1=r2.,例1 设向量组 1, 2, , m 中的秩为r, 证明向量组 1, 2, , m 中任意r个线性无关的向量均为此向量组的一个最大线性无关组.,证,设i1, i2, , ir是向量组1, 2, , m 中任意r个线性无关的向量, 由定义只需证明对任意i, i1, i2, , ir, i线性相关. (反证法)若 i1, i2, , ir, i线性无关, 则向量组1, 2, , m 的秩r+1, 与题设矛盾. 故i1, i2, , ir, i线性相关. 因此i可由i1, i2, , ir线性表出, 即i1, i2, , ir是向量组1, 2, , m 的一个最大线性无关组.,本例提供了证明某向量组的一个部分线性无关组为其最大线性无关组的稍为简单的途径.,例2 设1=(0, 0, -1, 1), 2=(1, 1, -1, 0), 3=(-1, -1, 0, 0), 4=(1, 1, -1, 0), 5=(0, 0, 1, -1).,向量组的最大线性无关组所含向量的个数就是该向量组的秩.,注,(1) 求向量组1, 2, 3, 4 及向量组3, 4, 5 的秩.,(2) 求向量组1, 2, 3, 4 的一个最大线性无关组.,解 (1) 由定理4.1知向量组行秩和列秩相等.,(-1),(-1),显然，R(B)=3, 故,同理,(-1),1,故,(2) 由(1)得R(1, 2, 3, 4)=3, 故由例1的结论知 中任意三个线性无关的向量均为它的一个最大线性无关组. 显然1, 2, 3 及1, 3, 4 线性无关，故它们都是所求的最大线性无关组.,求最大无关组并用其表示其余向量的方法,利用136页20题结论: 对矩阵Amn作行(或列)的初等变换不改变矩阵列(或行)向量组的线性关系(线性相关性).,含义：,对列向量而言, 设矩阵A=(1, 2, , n)经有限次行初等变换得到矩阵B=(1, 2, , n), 则A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相关性. 即,(1) 当且仅当B中k个列向量,线性无关时, A中对应的k个列向量,线性无关.,(2) 当且仅当B中某个列向量s能够由某些列向量,线性表出时, 即,A中对应列向量s可由对应的列向量,线性表出, 并且,例,-2,-