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第一章 函数与极限习题课,一、主要内容,（一）函数的定义,（二）极限的概念,（三）连续的概念,函 数 的定义,函 数 的性质 奇偶性 单调性 有界性 周期性,反函数,隐函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,双曲函数与 反双曲函数,（一）函数,1.函数的定义,函数的分类,2.函数的性质,有界、单调、奇偶、周期,3.反函数,4.隐函数,5.基本初等函数,6.复合函数,7.初等函数,8.双曲函数与反双曲函数,左右极限,极限存在的 充要条件,无穷大,两者的 关系,无穷小 的性质,极限的性质,求极限的常用方法,判定极限 存在的准则,两个重要 极限,无穷小的比较,等价无穷小 及其性质,唯一性,（二）极限,1、极限的定义：,单侧极限,2、无穷小与无穷大,无穷小；,无穷大；,无穷小与无穷大的关系,无穷小的运算性质,3、极限的性质,四则运算、复合函数的极限,极限存在的条件,4、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限； f.利用等价无穷小； g.利用重要极限,5、判定极限存在的准则,夹逼定理、单调有界原理,6、两个重要极限,7、无穷小的比较,8、等价无穷小的替换性质,9、极限的唯一性、局部有界性、保号性,（三）连续,左右连续,连续的 充要条件,间断点定义,在区间a,b 上连续,连续函数的 运算性质,初等函数 的连续性,非初等函数 的连续性,连续函数 的 性 质,1、连续的定义,单侧连续,连续的充要条件,闭区间的连续性,2、间断点的定义,间断点的分类,第一类、第二类,3、初等函数的连续性,连续性的运算性质,反函数、复合函数的连续性,4、闭区间上连续函数的性质,最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理,二、例题,例,解,将分子、分母同乘以因子(1-x), 则,例,解,例,解,例6,解,例,证明,讨论:,由零点定理知,综上,例,证,即xn单调减，有下界,故由单调有界原理得,例 求,解一,例 求,解,例. 求极限,例,解一,解二,例 证明,证,由夹逼定理知,例,解,因f(x)在x=0处为无穷间断，即,又x=1为可去间断，,例,解,从而由等价无穷小的代换性质得,例,利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程,至少有一实根,证,故由函数极限的保号性质可知,又 n 是奇数，所以,故由零点定理知,和差化积 sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2,积化和差 sinsin = cos(+)-cos(-) /2 coscos = cos
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