学案2导数的应用.ppt

进 入,学案2 导数的应用,考点一,考点二,考点三,返回目录,1.函数的单调性 （1）一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内可导，如果 0,则f(x)为 ；如果 0，则 f (x)为 . （2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 确定函数f(x)的定义区间; 求 ，令 ，解此方程，求出它在定义 区间内的一切实根;,增函数,减函数,把函数f(x)的间断点（即f(x) 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间; 确定f(x)在各小开区间内的符号，根据 判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性. 2.可导函数的极值 (1)极值的概念 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的一个 ，称x0为 .,极大(小)值,极大（小）值点,返回目录,（2）求可导函数f ( x )的极值的步骤: 求导数 ； 求方程 =0的根； 检查 在方程 =0的根的左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数f ( x ) 在这个根处取得 .,极大值,极小值,返回目录,.函数的最大值与最小值 （）设y=f(x)是定义在区间a,b上的函数，y=f(x)在（a,b）内有导数，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值，可分两步进行: 求f(x)在(a,b)内的极值; 将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. （）若函数f(x)在a,b上单调递增，则 f(a)为函数的 ，f(b)为函数的 ；若函数 f(a) 在a,b上单调递减，则f(a)为函数的 ， f(b)为函数的 .,f(a),f(b),最小值,最大值,最大值,最小值,返回目录,考点一 函数的单调性与导数,【例1】已知aR,求函数f(x)=x2eax的单调区间.,【分析】求f(x)的导数，令f(x)0即可求增区间；令0,求 减区间，但解题过程中要注意讨论参数a的范围.,返回目录,【解析】函数f(x)的导数: =2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax (1)当a=0时,若x0,则f(x)0. 所以当a=0时,函数f(x)在区间(-,0)内为减函数,在区间(0,+)内为增函数. (2)当a0时, 由2x+ax20,解得x0; 由2x+ax20时,函数f(x)在区间（-,- ）内为增函数,在区间（- ,0）内为减函数,在区间(0,+)内为增函数.,返回目录,(3)当a0,解得0- . 所以当a0时,函数f(x)在区间(-,0)内为减函数,在区间（0,- ）内为增函数,在区间（- ,+）内为减函数.,【评析】本题通过求单调区间考查导数的性质，通过解不等式考查了学生的运算能力及分类讨论的数学思想.,返回目录,对应演练,设函数f（x）= x3+ax2-a2x+1，g（x）= ax2-2x+1，其中实数a0. （1）若a0，求函数f（x）的单调区间； （2）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域； （3）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围.,返回目录,（1） =3x2+2ax-a2=3（x- ）(x+a), 又a0,当x-a或x 时， 0; 当-ax 时， 0, f (x) 在（-,-a）和（ ，+）内是增函数，在 （-a， ）内是减函数.,返回目录,（2）由题意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1. 即xx2-(a2-2)=0恰有一根（含重根）. a2-20,即 . 又a0,a ) ( . g(x)=a（x- ）2+1- , h(a)=1- ,a(0, , h(a)的值域为(-,1- .,返回目录,（3）当a0时，f（x）在（-,-a）和（ ，+）内是增函数，g（x）在（ ，+）内是增函数. a0 a a 当a0时，f（x）在（-, ）和（-a，+ ）内是增函数，g（x）在（-, ）内是增函数. a0 a+2 , a+2 综上可知，实数a的取值范围为（-,-31,+).,由题意得,，解得a1.,由题意得,解得a-3.,返回目录,考点二 函数的极值与导数,【例2】已知 aR ，讨论函数 f (x) = ex(x2+ax+a+1) 的极值点的个数.,【分析】先求 f(x) ，再令f(x) = 0，求出方程的解. 通过列表判定f(x)的符号来确定是否是极值点，是极 大值点还是极小值点.,返回目录,【解析】f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a) =exx2+(a+2)x+(2a+1). 令f(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0. （1）当=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)0,即a4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1,x2，不妨设x1x2,于是f(x)=ex(x-x1)(x-x2).从而有下表：,即此时f(x)有两个极值点.,返回目录,（2）当=0即a=0或a=4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2. 于是f(x)=ex(x-x1)2, 故当x0；当xx1时，f(x)0，因此 f(x)无极值. （3）当0,f(x)=ex x2+(a+2)x+(2a+1)0,故f(x)为增函数，此时 f(x) 无极值.因此当a4或a0时，f (x) 有2个极值点，当0a4时， f(x) 无极值点.,【评析】 f(x)= 0是函数在x=x0处取得极值的必要条件. 要注意总结求极值的步骤和方法.,返回目录,对应演练,设函数f(x)=ln(x+a)+x2. （1）若当x=-1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 .,返回目录,(1)f(x)= , 依题意，有f(-1)=0,故a= . 则f(x)的定义域为（ ,+）. 当 0; 当-1 时，f(x)0. 从而f(x)分别在区间（ ,-1）,（ ,+）上单调递增，在区间（-1, ）上单调递减.,返回目录,(2)f(x)的定义域为（-a,+）, 方程2x2+2ax+1=0的判别式=4a2-8. 若0,故f(x)无极值. 若=0,则a= 或- . 若a= ,x(- ,+), 当x= 时，f(x)=0; 当x（- ,- ）（- ,+）时， f(x)0，所以f(x)无极值. 若a=- ,x( ,+),f(x)= 0,f(x)也无极值. 若0,即a 或a- ,返回目录,则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根 当a 时，x1-a,x2-a,f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知f(x)在x=x1,x=x2处取得极值. 综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为( ,+). 所以f(x)的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+ +ln(x2+a)+ =ln +a2-11-ln2=ln .,返回目录,考点三 函数的最值与导数,【例3】如图，甲、乙两人，甲位于乙的正东100 km处开始骑自行车以每小时20 km的速度向正西方向前进.与此同时，乙以每小时10 km的速度向其正北方向跑步前进.问经过多少时间甲、乙相距最近？,【分析】引入变量，建立目标函数，用导数法求最值.,返回目录,【解析】设经过x小时甲、乙相距f(x) km，此时甲到达位置A，乙到达位置B. 故 问题转化为在x0时，求f(x)的最小值点. 令f(x)=0得x=4. 在区间(0,4)内,f(x)0，函数f(x)单调递增. 故x=4为其极小值点，也是最小值点. 所以当x=4（小时）时，甲、乙两人相距最近为20 km.,返回目录,【评析】 （1）注意到f(x)0，因而只要求出f(x)2的最小值点即可. （2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f(x)=0,且在两侧f(x)的符号各异，一般称为单峰问题 ，此时该点就是极值点 ，也是最值点.,返回目录,对应演练,某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+ ）x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元. （1）试写出y关于x的函数关系式； （2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？,返回目录,（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m， 即 ， 所以y=f（x）=256n+（n+1）（2+ ）x =256（ ）+ （2+ ）x = +m +2m-256.,返回目录,（2）由（1）知，f(x) 令f(x)=0,得 =512，所以x=64. 当0x64时，f（x）0，f（x）在区间（0，64）内为减函数；当64x640时，f(x)0,f(x)在区间（64，640）内为增函数，所以f（x）在x=64处取得最小值，此时n= -1= -1=9. 故需新建9个桥墩才能使y最小.,返回目录,1.利用导数的方法讨论函数的单调性要注意以下方面: (1) 是 递增的充分条件而非必要条件( 也是如此); (2)求单调区间时,首先要确定定义域,然后根据 (或 )解出定义域内相应的x的范围; (3)在证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次要运用求导的方法来证明. (4)在求函数的单调区间时,几个单调增(减)区间一般不要取并集,还要分开写,用“和”或 “,”连接,但不能用“ 或”,要